Algebra Esempi

$(2 x + 5) (2 x - 3) \geq 3 x - 12$

Passaggio 1

Semplifica $(2 x + 5) (2 x - 3)$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (2 x + 5) (2 x - 3) \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(2 x + 5) (2 x - 3) \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.3

Espandi $(2 x + 5) (2 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 + 5 (2 x - 3) \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3 \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3 \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Sposta $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3 \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3 \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.4.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3 \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.4.1.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$4 x^{2} - 6 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 3 \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.4.1.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$4 x^{2} - 6 x + 10 x + 5 \cdot - 3 \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.4.1.6

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 x + 10 x - 15 \geq 3 x - 12$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 6 x$ e $10 x$ .

$4 x^{2} + 4 x - 15 \geq 3 x - 12$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

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Passaggio 2.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x^{2} + 4 x - 15 - 3 x \geq - 12$

Passaggio 2.2

Sottrai $3 x$ da $4 x$ .

$4 x^{2} + x - 15 \geq - 12$

Passaggio 3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$4 x^{2} + x - 15 = - 12$

Passaggio 4

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + x - 15 + 12 = 0$

Passaggio 5

Somma $- 15$ e $12$ .

$4 x^{2} + x - 3 = 0$

Passaggio 6

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 6.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica per $1$ .

$4 x^{2} + 1 x - 3 = 0$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi $1$ come $- 3$ più $4$ .

$4 x^{2} + (- 3 + 4) x - 3 = 0$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 3 x + 4 x - 3 = 0$

Passaggio 6.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 x^{2} - 3 x) + 4 x - 3 = 0$

Passaggio 6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (4 x - 3) + 1 (4 x - 3) = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x + 1) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 8

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $4 x - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 3$

Passaggio 8.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ e semplifica.

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Passaggio 8.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 8.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 9

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x - 3) (x + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{3}{4}, - 1$

Passaggio 11

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{3}{4}$

$x > \frac{3}{4}$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$(2 (- 4) + 5) (2 (- 4) - 3) \geq 3 (- 4) - 12$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $33$ è maggiore del lato destro di $- 24$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < \frac{3}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < \frac{3}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(2 (0) + 5) (2 (0) - 3) \geq 3 (0) - 12$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $- 15$ è minore del lato destro di $- 12$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{3}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{3}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$(2 (3) + 5) (2 (3) - 3) \geq 3 (3) - 12$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $33$ è maggiore del lato destro di $- 3$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 12.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < \frac{3}{4}$ Falso

$x > \frac{3}{4}$ Vero

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < \frac{3}{4}$ Falso

$x > \frac{3}{4}$ Vero

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 1$ o $x \geq \frac{3}{4}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x \leq - 1 or x \geq \frac{3}{4}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1] \cup [\frac{3}{4}, \infty)$

Passaggio 15