Algebra Esempi

$\frac{x - 3}{x - 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{x - 3}{x - 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{x - 3}{x - 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- \frac{x - 5}{x - 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 2) (x - 3)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{x - 3}{x - 2}$ per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 3) (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{x - 5}{x - 3}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 3) (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} > 0$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 3) (x - 3)}{(x - 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x - 3) (x - 3) - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.1

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 3) - 3 (x - 3) - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.2.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.2.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - (x - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 + (- x - - 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 + (- x + 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.5

Espandi $(- x + 5) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.5.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x (x - 2) + 5 (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x \cdot x - x \cdot - 2 + 5 (x - 2)}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x \cdot x - x \cdot - 2 + 5 x + 5 \cdot - 2}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.5.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.6.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - (x \cdot x) - x \cdot - 2 + 5 x + 5 \cdot - 2}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.6.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} - x \cdot - 2 + 5 x + 5 \cdot - 2}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.6.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} + 2 x + 5 x + 5 \cdot - 2}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.6.1.3

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} + 2 x + 5 x - 10}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.6.2

Somma $2 x$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x^{2} + 7 x - 10}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.7

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x + 9 + 0 + 7 x - 10}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.8

Somma $- 6 x$ e $0$ .

$\frac{- 6 x + 9 + 7 x - 10}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.9

Somma $- 6 x$ e $7 x$ .

$\frac{x + 9 - 10}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 1.5.10

Sottrai $10$ da $9$ .

$\frac{x - 1}{(x - 2) (x - 3)} > 0$

Passaggio 2

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 1$

$x = 2$

$x = 3$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = 1, 2, 3$

Passaggio 8

Trova il dominio di $\frac{x - 3}{x - 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 3}{x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 2 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 8.3

Imposta il denominatore in $\frac{x - 5}{x - 3}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 3 = 0$

Passaggio 8.4

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 8.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(0) - 3}{(0) - 2} - \frac{(0) - 5}{(0) - 3} > 0$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 0.1\overline{6}$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.5$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $1.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(1.5) - 3}{(1.5) - 2} - \frac{(1.5) - 5}{(1.5) - 3} > 0$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $0.\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2.5$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $2.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(2.5) - 3}{(2.5) - 2} - \frac{(2.5) - 5}{(2.5) - 3} > 0$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $- 6$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{(6) - 3}{(6) - 2} - \frac{(6) - 5}{(6) - 3} > 0$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $0.41\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Vero

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Vero

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$1 < x < 2$ o $x > 3$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$1 < x < 2 or x > 3$

Notazione degli intervalli:

$(1, 2) \cup (3, \infty)$

Passaggio 13