Algebra Esempi

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{\frac{y}{y - 1}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $(y - 1) (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 1 x = (\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y x - x = (\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $(\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{y}{y - 1}}$ come $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}}$ per $\frac{\sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1}}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}} \cdot \frac{\sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}}$ per $\frac{\sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1}}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1} \sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{y - 1}$ alla potenza di $1$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{1} \sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.3

Eleva $\sqrt{y - 1}$ alla potenza di $1$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{1} {\sqrt{y - 1}}^{1}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{1 + 1}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{2}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{y - 1}}^{2}$ come $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y - 1}$ come ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{\frac{2}{2}}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{\frac{2}{2}}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{1}} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3.6.5

Semplifica.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{y - 1} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y x - x = \frac{\sqrt{y (y - 1)}}{y - 1} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$y x - x = \frac{\sqrt{y (y - 1)}}{y - 1} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - x = \sqrt{y (y - 1)}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\sqrt{y (y - 1)} = y x - x$

Passaggio 3.4.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y (y - 1)}}^{2} = {(y x - x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y (y - 1)}$ come ${(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Semplifica ${({(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y (y - 1))}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

${(y \cdot y + y \cdot - 1)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3.2.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1.3.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

${(y^{2} + y \cdot - 1)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3.2.1.1.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

${(y^{2} - 1 \cdot y)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

${(y^{2} - y)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3.2.1.3

Semplifica.

$y^{2} - y = {(y x - x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Semplifica ${(y x - x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.1

Riscrivi ${(y x - x)}^{2}$ come $(y x - x) (y x - x)$ .

$y^{2} - y = (y x - x) (y x - x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.2

Espandi $(y x - x) (y x - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} - y = y x (y x - x) - x (y x - x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} - y = y x (y x) + y x (- x) - x (y x - x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} - y = y x (y x) + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.1.1

Sposta $y$ .

$y^{2} - y = y \cdot y x \cdot x + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} - y = y^{2} x \cdot x + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} (x \cdot x) + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x \cdot x - x (y x) - x (- x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y (x \cdot x) - x (y x) - x (- x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x (y x) - x (- x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - (x \cdot x) y - x (- x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - x (- x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.7.1

Sposta $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y + 1 x^{2}$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.1.9

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y + x^{2}$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.2

Sottrai $x^{2} y$ da $- y x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1.3.2.1

Sposta $y$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - x^{2} y - x^{2} y + x^{2}$

Passaggio 3.4.3.3.1.3.2.2

Sottrai $x^{2} y$ da $- x^{2} y$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - 2 x^{2} y + x^{2}$

Passaggio 3.4.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1

Sottrai $y^{2} x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - y^{2} x^{2} = - 2 x^{2} y + x^{2}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Somma $2 x^{2} y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - y^{2} x^{2} + 2 x^{2} y = x^{2}$

Passaggio 3.4.4.2

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - y - y^{2} x^{2} + 2 x^{2} y - x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.4.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4.4.4

Sostituisci i valori $a = 1 - x^{2}$ , $b = - 1 + 2 x^{2}$ e $c = - x^{2}$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- (- 1 + 2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot ((1 - x^{2}) \cdot (- x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.4

Riscrivi ${(- 1 + 2 x^{2})}^{2}$ come $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.5

Espandi $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 (- 1 + 2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.1.6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.6.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.6.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.6.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.1.6.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.6.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.6.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.6.1.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.6.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.8

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.11

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.12

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 - 4 x^{2}) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.13

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.14

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.1.14.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.14.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.14.3

Somma $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.15

Somma $- 4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{4} + 0 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.16

Somma $1$ e $0$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} + 1 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.17

Sottrai $4 x^{4}$ da $4 x^{4}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{0 + 1}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.18

Somma $0$ e $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.1.19

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.5.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.4

Riscrivi ${(- 1 + 2 x^{2})}^{2}$ come $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.5

Espandi $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 (- 1 + 2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.1.6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.6.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.6.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.6.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.1.6.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.6.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.6.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.6.1.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.6.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.8

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.11

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.12

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 - 4 x^{2}) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.13

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.14

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.1.14.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.14.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.14.3

Somma $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.15

Somma $- 4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{4} + 0 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.16

Somma $1$ e $0$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} + 1 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.17

Sottrai $4 x^{4}$ da $4 x^{4}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{0 + 1}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.18

Somma $0$ e $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.1.19

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.6.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} + 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.4.1

Somma $1$ e $1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} + 2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.4.2

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- x^{2}) + 2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.4.2.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.4.2.3

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (1)$ .

$y = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.4.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{2 (- x^{2} + 1^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.4.4

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$y = \frac{2 (1^{2} - x^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.4.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.5.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.6

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.6.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.6.6.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1 - x}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.6.7

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.6.7.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1 - x}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.6.7.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 1$

Passaggio 3.4.4.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.4

Riscrivi ${(- 1 + 2 x^{2})}^{2}$ come $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.5

Espandi $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 (- 1 + 2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.1.6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.6.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.6.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.6.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.1.6.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.6.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.6.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.6.1.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.6.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.8

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.11

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.12

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 - 4 x^{2}) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.13

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.14

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.1.14.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.14.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.14.3

Somma $2$ e $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.15

Somma $- 4 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{4} + 0 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.16

Somma $1$ e $0$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} + 1 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.17

Sottrai $4 x^{4}$ da $4 x^{4}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{0 + 1}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.18

Somma $0$ e $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1}}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.1.19

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Passaggio 3.4.4.7.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.7.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} - 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} + 0}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.7.4.2

Somma $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$y = \frac{- 2 x^{2}}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.7.5

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.5.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- x^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.7.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.7.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 (1 + x) (1 - x)$ .

$y = \frac{2 (- x^{2})}{2 ((1 + x) (1 - x))}$

Passaggio 3.4.4.7.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 (- x^{2})}{2 ((1 + x) (1 - x))}$

Passaggio 3.4.4.7.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.7.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3.4.4.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ e $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5.3

Find the domain of the inverse.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trova il dominio di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.3.2

Trova il dominio di $- \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Passaggio 5.3.2.2.2

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ .

$1 + x = 0$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.3.2.2.3

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 5.3.2.2.3.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 5.3.2.2.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 5.3.2.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(1 + x) (1 - x) = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 5.3.2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5.3.3

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

L'unione è costituita da tutti gli elementi contenuti in ogni intervallo.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ , allora $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ non è un inverso di $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 6