Algebra Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{y^{2} - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{y^{2} - 1} = x$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} = x$

Passaggio 3.2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}} = x$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$

Passaggio 3.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(y + 1) (y - 1), 1$

Passaggio 3.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$(y + 1) (y - 1)$

Passaggio 3.4

Moltiplica per $(y + 1) (y - 1)$ ciascun termine in $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$ per $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = x ((y + 1) (y - 1))$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $(y + 1) (y - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = x ((y + 1) (y - 1))$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = x ((y + 1) (y - 1))$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Espandi $(y + 1) (y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = x (y (y - 1) + 1 (y - 1))$

Passaggio 3.4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = x (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1))$

Passaggio 3.4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 = x (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$1 = x (y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$1 = x (y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.4.3.2.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$1 = x (y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.4.3.2.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$1 = x (y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.4.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 = x (y^{2} - y + y - 1)$

Passaggio 3.4.3.2.2

Somma $- y$ e $y$ .

$1 = x (y^{2} + 0 - 1)$

Passaggio 3.4.3.2.3

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$1 = x (y^{2} - 1)$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = x y^{2} + x \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$1 = x y^{2} - 1 \cdot x$

Passaggio 3.4.3.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$1 = x y^{2} - x$

Passaggio 3.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $x y^{2} - x = 1$ .

$x y^{2} - x = 1$

Passaggio 3.5.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y^{2} = 1 + x$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y^{2} = 1 + x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y^{2} = 1 + x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 3.5.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{1}{x} + 1$

Passaggio 3.5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Passaggio 3.5.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{x}}$

Passaggio 3.5.5.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{1 + x}{x}}$ come $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 3.5.5.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 3.5.5.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 3.5.5.5.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Passaggio 3.5.5.5.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Passaggio 3.5.5.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5.5.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 3.5.5.5.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5.5.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.5.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.5.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.5.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Passaggio 3.5.5.5.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x}$

Passaggio 3.5.5.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) x}}{x}$

Passaggio 3.5.5.7

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(1 + x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Passaggio 3.5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Passaggio 3.5.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.