Algebra Esempi

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \div (\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}})$

Passaggio 1

Riscrivi la divisione come una frazione.

$\frac{\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Passaggio 2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Passaggio 3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Passaggio 4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Passaggio 5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.1

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Passaggio 5.2

Riscrivi il polinomio.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}}$

Passaggio 5.3

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Passaggio 6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.1

Riordina i termini.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Passaggio 6.2

Per scrivere $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Passaggio 6.3

Per scrivere $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Passaggio 6.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(y - x) {(x + y)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ per $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{(x + y) (y - x) (x + y)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Passaggio 6.4.2

Eleva $x + y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} (x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Passaggio 6.4.3

Eleva $x + y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Passaggio 6.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1 + 1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Passaggio 6.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Passaggio 6.4.6

Moltiplica $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ per $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Passaggio 6.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Passaggio 6.6

Riscrivi $\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 6.6.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y + 0}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Passaggio 6.6.2

Somma $y + y$ e $0$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Passaggio 6.6.3

Somma $y$ e $y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Combina.

$\frac{4 x y \cdot 1}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Passaggio 8

Scomponi $\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ da $\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y} \cdot \frac{4 x y}{(y + x) (y - x)}$

Passaggio 9

Combina.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Passaggio 10

Elimina il fattore comune di $y - x$ .

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Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Passaggio 10.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x + y)}^{2} (4 x y)}{2 y (y + x)}$

Passaggio 11

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 11.1

Scomponi $2$ da ${(x + y)}^{2} (4 x y)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 y (y + x)}$

Passaggio 11.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (y + x)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Passaggio 11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 12.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Passaggio 12.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{y + x}$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di ${(x + y)}^{2}$ e $y + x$ .

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Passaggio 13.1

Riordina i termini.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{x + y}$

Passaggio 13.2

Scomponi $x + y$ da ${(x + y)}^{2} (2 x)$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{x + y}$

Passaggio 13.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.3.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Passaggio 13.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Passaggio 13.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + y) (2 x)}{1}$

Passaggio 13.3.4

Dividi $(x + y) (2 x)$ per $1$ .

$(x + y) (2 x)$

Passaggio 14

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) + y (2 x)$

Passaggio 15

Riordina.

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Passaggio 15.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x \cdot x + y (2 x)$

Passaggio 15.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x \cdot x + 2 y x$

Passaggio 16

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 16.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 y x$

Passaggio 16.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + 2 y x$