Algebra Esempi

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} < \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4}$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica $\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Passaggio 2.2.1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 2.2.1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Passaggio 2.2.1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$12 = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ per $x^{2} + 2 x$ .

$12 = \frac{3 (x^{2} + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $x$ da $x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.1.3.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.1.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$12 = \frac{3 (x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

$12 = \frac{3 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x + 2$ e ${(x + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.4.1

Scomponi $x + 2$ da $3 x (x + 2)$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.4.2.1

Scomponi $x + 2$ da ${(x + 2)}^{2}$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Passaggio 2.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Passaggio 2.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$12 = \frac{3 x}{x + 2}$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ .

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 2, 1$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$x + 2, 1$

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x + 2$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $x + 2$ ciascun termine in $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ per $x + 2$ .

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x = 12 (x + 2)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x = 12 x + 12 \cdot 2$

Passaggio 3.3.3.2

Moltiplica $12$ per $2$ .

$3 x = 12 x + 24$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Sottrai $12 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x - 12 x = 24$

Passaggio 3.4.1.2

Sottrai $12 x$ da $3 x$ .

$- 9 x = 24$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 x = 24$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 x = 24$ .

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{24}{- 9}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Elimina il fattore comune di $24$ e $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{- 9}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{8}{- 3}$

Passaggio 3.4.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{8}{3}$

Passaggio 4

Trova il dominio di $\frac{12}{x (x + 2)} - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{12}{x (x + 2)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x (x + 2) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.2.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 4.3

Imposta il denominatore in $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{8}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{8}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 5$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{12}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5)} < \frac{3}{{(- 5)}^{2} + 4 (- 5) + 4}$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro di $0.8$ non è minore del lato destro di $0.\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{8}{3} < x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{8}{3} < x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2.33$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2.33$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{12}{{(- 2.33)}^{2} + 2 (- 2.33)} < \frac{3}{{(- 2.33)}^{2} + 4 (- 2.33) + 4}$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro di $15.60671088$ è minore del lato destro di $27.54820936$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $- 1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{12}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < \frac{3}{{(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 4}$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $- 12$ è minore del lato destro di $3$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 6.4.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{12}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < \frac{3}{{(2)}^{2} + 4 (2) + 4}$

Passaggio 6.4.3

Il lato sinistro di $1.5$ non è minore del lato destro di $0.1875$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{8}{3}$ Falso

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{8}{3}$ Falso

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ o $- 2 < x < 0$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- \frac{8}{3} < x < - 2 or - 2 < x < 0$

Notazione degli intervalli:

$(- \frac{8}{3}, - 2) \cup (- 2, 0)$

Passaggio 9