Algebra Esempi

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 y^{2} + 225 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $225$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 y^{2} = - 225$

Passaggio 1.2

Inverti il segno su ogni termine dell'equazione in modo che il termine sul lato destro sia positivo.

$- 9 {(x - 2)}^{2} + 16 y^{2} = 225$

Passaggio 1.3

Dividi per $225$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{9 {(x - 2)}^{2}}{225} + \frac{16 y^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Passaggio 1.4

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{y^{2}}{\frac{225}{16}} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{25} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \frac{15}{4}$

$b = 5$

$k = 0$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(2, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{15}{4})}^{2} + {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{15}{4}$ .

$\sqrt{\frac{15^{2}}{4^{2}} + {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{4^{2}} + {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + {(5)}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + 25}$

Passaggio 5.3.5

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + 25 \cdot \frac{16}{16}}$

Passaggio 5.3.6

$25$ e $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + \frac{25 \cdot 16}{16}}$

Passaggio 5.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{225 + 25 \cdot 16}{16}}$

Passaggio 5.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $25$ per $16$ .

$\sqrt{\frac{225 + 400}{16}}$

Passaggio 5.3.8.2

Somma $225$ e $400$ .

$\sqrt{\frac{625}{16}}$

Passaggio 5.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{625}{16}}$ come $\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Riscrivi $625$ come $25^{2}$ .

$\frac{\sqrt{25^{2}}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{25}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.3.11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{25}{\sqrt{4^{2}}}$

Passaggio 5.3.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{25}{4}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, \frac{15}{4})$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, - \frac{15}{4})$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(2, \frac{15}{4}), (2, - \frac{15}{4})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, \frac{25}{4})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, - \frac{25}{4})$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(2, \frac{25}{4}), (2, - \frac{25}{4})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{15}{4})}^{2} + {(5)}^{2}}}{\frac{15}{4}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{15}{4})}^{2} + 5^{2}} \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{15}{4}$ .

$\sqrt{\frac{15^{2}}{4^{2}} + 5^{2}} \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{4^{2}} + 5^{2}} \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + 5^{2}} \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + 25} \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.6

Per scrivere $25$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + 25 \cdot \frac{16}{16}} \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.7

$25$ e $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + \frac{25 \cdot 16}{16}} \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{225 + 25 \cdot 16}{16}} \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.1

Moltiplica $25$ per $16$ .

$\sqrt{\frac{225 + 400}{16}} \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.9.2

Somma $225$ e $400$ .

$\sqrt{\frac{625}{16}} \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.10

Riscrivi $\sqrt{\frac{625}{16}}$ come $\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.1

Riscrivi $625$ come $25^{2}$ .

$\frac{\sqrt{25^{2}}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{25}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.12

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{25}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.12.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{25}{4} \cdot \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.1.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$\frac{5 (5)}{4} \cdot \frac{4}{15}$

Passaggio 8.3.13.1.2

Scomponi $5$ da $15$ .

$\frac{5 \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{5 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.13.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{5 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.13.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Passaggio 8.3.13.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Passaggio 8.3.13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{1}{3})$

Passaggio 8.3.13.3

$5$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{5^{2}}{25}}{4}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{5^{2}}{25} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 9.3.2

Combina.

$\frac{5^{2} \cdot 1}{25 \cdot 4}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $5^{2}$ per $1$ .

$\frac{5^{2}}{25 \cdot 4}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $25$ per $4$ .

$\frac{5^{2}}{100}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25}{100}$

Passaggio 9.3.4

Elimina il fattore comune di $25$ e $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Scomponi $25$ da $25$ .

$\frac{25 (1)}{100}$

Passaggio 9.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.2.1

Scomponi $25$ da $100$ .

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}$

Passaggio 9.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}$

Passaggio 9.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) + 0$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) + 0$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{3}{4} \cdot (x - (2)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Somma $\frac{3}{4} \cdot (x - (2))$ e $0$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (2))$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 2)$

Passaggio 11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Passaggio 11.2.3

$\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Passaggio 11.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 (2)} \cdot - 2$

Passaggio 11.2.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 11.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 11.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} \cdot - 1$

Passaggio 11.2.5

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 11.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 11.2.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) + 0$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Somma $- \frac{3}{4} \cdot (x - (2))$ e $0$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (2))$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 2)$

Passaggio 12.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 2$

Passaggio 12.2.1.4

$x$ e $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 2$

Passaggio 12.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{4}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 2$

Passaggio 12.2.1.5.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 (2)} \cdot - 2$

Passaggio 12.2.1.5.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 12.2.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 12.2.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2} \cdot - 1$

Passaggio 12.2.1.6

$\frac{- 3}{2}$ e $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 12.2.1.7

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 12.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(2, 0)$

Vertici: $(2, \frac{15}{4}), (2, - \frac{15}{4})$

Fuochi: $(2, \frac{25}{4}), (2, - \frac{25}{4})$

Eccentricità: $\frac{5}{3}$

Asse focale: $\frac{1}{4}$

Asintoti: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 15