Algebra Esempi

$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$

Passaggio 2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})} = e^{y}$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$ .

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$

Passaggio 4.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{x^{2} + 1} = e^{y} - x$

Passaggio 4.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Passaggio 4.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} + 1)}^{1} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} + 1 = {(e^{y} - x)}^{2}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Semplifica ${(e^{y} - x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1.1

Riscrivi ${(e^{y} - x)}^{2}$ come $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ .

$x^{2} + 1 = (e^{y} - x) (e^{y} - x)$

Passaggio 4.4.3.1.2

Espandi $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 1 = e^{y} (e^{y} - x) - x (e^{y} - x)$

Passaggio 4.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x (e^{y} - x)$

Passaggio 4.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Passaggio 4.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $e^{y}$ per $e^{y}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + 1 = e^{y + y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Passaggio 4.4.3.1.3.1.1.2

Somma $y$ e $y$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Passaggio 4.4.3.1.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - x (- x)$

Passaggio 4.4.3.1.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Passaggio 4.4.3.1.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Passaggio 4.4.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Passaggio 4.4.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + 1 x^{2}$

Passaggio 4.4.3.1.3.1.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + x^{2}$

Passaggio 4.4.3.1.3.2

Sottrai $x e^{y}$ da $- e^{y} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1.3.2.1

Sposta $e^{y}$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - x e^{y} - x e^{y} + x^{2}$

Passaggio 4.4.3.1.3.2.2

Sottrai $x e^{y}$ da $- x e^{y}$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2}$

Passaggio 4.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} = x^{2} + 1$

Passaggio 4.5.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2} = 1$

Passaggio 4.5.2.2

Combina i termini opposti in $e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + 0 = 1$

Passaggio 4.5.2.2.2

Somma $e^{2 y} - 2 x e^{y}$ e $0$ .

$e^{2 y} - 2 x e^{y} = 1$

Passaggio 4.5.3

Sottrai $e^{2 y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$

Passaggio 4.5.4

Dividi per $- 2 e^{y}$ ciascun termine in $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Dividi per $- 2 e^{y}$ ciascun termine in $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ .

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Passaggio 4.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Passaggio 4.5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Passaggio 4.5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Passaggio 4.5.4.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Passaggio 4.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Passaggio 4.5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{2 y}$ e $e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.3.1.2.1

Scomponi $e^{y}$ da $- e^{2 y}$ .

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{- 2 e^{y}}$

Passaggio 4.5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.3.1.2.2.1

Scomponi $e^{y}$ da $- 2 e^{y}$ .

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

Passaggio 4.5.4.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

Passaggio 4.5.4.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{y}}{- 2}$

Passaggio 4.5.4.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y}}{2}$