Algebra Esempi

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + 3 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e la cui somma è $b = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + 3 (x) + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $3$ come $1$ più $2$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + x + 2 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 x + 1, (2 x + 1) (x + 1), x + 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $2 x + 1$ è $2 x + 1$ stesso.

$(2 x + 1) = 2 x + 1$

$(2 x + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x + 1$ è $x + 1$ stesso.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $2 x + 1, 2 x + 1, x + 1, x + 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(2 x + 1) (x + 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(2 x + 1) (x + 1)$ ciascun termine in $\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$ per $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 x}{2 x + 1} ((2 x + 1) (x + 1)) + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 x + 1} ((2 x + 1) (x + 1)) + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x (x + 1) + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $(2 x + 1) (x + 1)$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 2 x + \frac{2 x^{2}}{(2 x + 1) (x + 1)} ((2 x + 1) (x + 1)) = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} + 2 x + 2 x^{2} = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.2.2

Somma $2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$4 x^{2} + 2 x = \frac{1}{x + 1} ((2 x + 1) (x + 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $x + 1$ da $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$4 x^{2} + 2 x = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (2 x + 1))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} + 2 x = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) (2 x + 1))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} + 2 x = 2 x + 1$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 4.1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + 2 x - 2 x = 1$

Passaggio 4.1.2

Combina i termini opposti in $4 x^{2} + 2 x - 2 x$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$4 x^{2} + 0 = 1$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $4 x^{2}$ e $0$ .

$4 x^{2} = 1$

Passaggio 4.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 1$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 4.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.4.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 4.4.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x^{2}}{2 x^{2} + 3 x + 1} = \frac{1}{x + 1}$ vera.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$x = 0.5$