Algebra Esempi

$- \frac{1}{4} x^{2} + 4 x + 1 \geq 1$

Passaggio 1

$x^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$

Passaggio 2

Moltiplica per $4$ ciascun termine in $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{x^{2}}{4} + 4 x + 1 \geq 1$ per $4$ .

$- \frac{x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{4}$ nel numeratore.

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x^{2}}{4} \cdot 4 + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Passaggio 2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- x^{2} + 4 x \cdot 4 + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- x^{2} + 16 x + 1 \cdot 4 \geq 1 \cdot 4$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 1 \cdot 4$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- x^{2} + 16 x + 4 \geq 4$

Passaggio 3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$- x^{2} + 16 x + 4 = 4$

Passaggio 4

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} + 16 x + 4 - 4 = 0$

Passaggio 5

Combina i termini opposti in $- x^{2} + 16 x + 4 - 4$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$- x^{2} + 16 x + 0 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $- x^{2} + 16 x$ e $0$ .

$- x^{2} + 16 x = 0$

Passaggio 6

Scomponi $- x$ da $- x^{2} + 16 x$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi $- x$ da $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 16 x = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $- x$ da $16 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 16 = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $- x$ da $- x (x) - x (- 16)$ .

$- x (x - 16) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 16 = 0$

Passaggio 8

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 9

Imposta $x - 16$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $x - 16$ uguale a $0$ .

$x - 16 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 16$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- x (x - 16) = 0$ vera.

$x = 0, 16$

Passaggio 11

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 16$

$x > 16$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 1 \geq 1$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $- 8$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 16$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 16$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$- \frac{1}{4} \cdot {(2)}^{2} + 4 (2) + 1 \geq 1$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $8$ è maggiore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 16$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 16$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 18$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $18$ nella diseguaglianza originale.

$- \frac{1}{4} \cdot {(18)}^{2} + 4 (18) + 1 \geq 1$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $- 8$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 16$ Vero

$x > 16$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 16$ Vero

$x > 16$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x \leq 16$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$0 \leq x \leq 16$

Notazione degli intervalli:

$[0, 16]$

Passaggio 15