Algebra Esempi

$- x^{5} + 52 x^{3} + 2 x^{2} - 147 x - 98$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$2 x^{2} - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Passaggio 2

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 98$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Passaggio 2.2

Scomponi $2$ da $- 98$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 49 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Passaggio 2.3

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 \cdot - 49$ .

$2 (x^{2} - 49) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Passaggio 3

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$2 (x^{2} - 7^{2}) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Passaggio 4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 7$ .

$2 ((x + 7) (x - 7)) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x + 7) (x - 7) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Passaggio 5

Scomponi $x$ da $- x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $x$ da $- x^{5}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + 52 x^{3} - 147 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $x$ da $52 x^{3}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) - 147 x$

Passaggio 5.3

Scomponi $x$ da $- 147 x$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Passaggio 5.4

Scomponi $x$ da $x (- x^{4}) + x (52 x^{2})$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Passaggio 5.5

Scomponi $x$ da $x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2} - 147)$

Passaggio 6

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- {(x^{2})}^{2} + 52 x^{2} - 147)$

Passaggio 7

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 u - 147)$

Passaggio 8

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 147 = 147$ e la cui somma è $b = 52$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi $52$ da $52 u$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 (u) - 147)$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi $52$ come $3$ più $49$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + (3 + 49) u - 147)$

Passaggio 8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 3 u + 49 u - 147)$

Passaggio 8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u^{2} + 3 u) + 49 u - 147)$

Passaggio 8.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (u (- u + 3) - 49 (- u + 3))$

Passaggio 8.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u + 3$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u + 3) (u - 49))$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 49))$

Passaggio 10

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 7^{2}))$

Passaggio 11

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 7$ .

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) ((x + 7) (x - 7)))$

Passaggio 11.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7))$

Passaggio 11.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Passaggio 12

Scomponi $(x + 7) (x - 7)$ da $2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Scomponi $(x + 7) (x - 7)$ da $2 (x + 7) (x - 7)$ .

$(x + 7) (x - 7) (2) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Passaggio 12.2

Scomponi $(x + 7) (x - 7)$ da $x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

$(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$

Passaggio 12.3

Scomponi $(x + 7) (x - 7)$ da $(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2} + 3))$

Passaggio 13

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2}) + x \cdot 3)$

Passaggio 14

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + x \cdot 3)$

Passaggio 15

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + 3 \cdot x)$

Passaggio 16

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sposta $x^{2}$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Passaggio 16.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x)$

Passaggio 16.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{2 + 1} + 3 \cdot x)$

Passaggio 16.3

Somma $2$ e $1$ .

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 \cdot x)$

$(x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 x)$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$(x + 7) (x - 7) (- x^{3} + 3 x + 2)$

Passaggio 18

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Riscrivi $- x^{3} + 3 x + 2$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Scomponi $- x^{3} + 3 x + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 18.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 18.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$- {(- 1)}^{3} + 3 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 18.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- - 1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 18.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Passaggio 18.1.1.3.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 - 3 + 2$

Passaggio 18.1.1.3.5

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 18.1.1.3.6

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 18.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} + 3 x + 2}{x + 1}$

Passaggio 18.1.1.5

Dividi $- x^{3} + 3 x + 2$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Passaggio 18.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$

Passaggio 18.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 18.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 18.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 18.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 18.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 18.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 18.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 18.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$

Passaggio 18.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 18.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 18.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 18.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x + 2$

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Passaggio 18.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Passaggio 18.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} + x + 2$

Passaggio 18.1.1.6

Scrivi $- x^{3} + 3 x + 2$ come insieme di fattori.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + x + 2))$

Passaggio 18.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + 1 x + 2))$

Passaggio 18.1.2.1.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + (- 1 + 2) x + 2))$

Passaggio 18.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} - 1 x + 2 x + 2))$

Passaggio 18.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x^{2} - 1 x) + 2 x + 2))$

Passaggio 18.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (x (- x - 1) - 2 (- x - 1)))$

Passaggio 18.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 1$ .

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x - 1) (x - 2)))$

Passaggio 18.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x - 1) (x - 2))$

Passaggio 18.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 7) (x - 7) (x + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Passaggio 19

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Passaggio 19.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) - 1 (- 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Passaggio 19.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

$(x + 7) (x - 7) (- 1 (- x - 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Passaggio 19.4

Rimuovi le parentesi.

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 (- x - 1) (- x - 1) (x - 2)$

Passaggio 19.5

Eleva $- x - 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 ({(- x - 1)}^{1} (- x - 1)) (x - 2)$

Passaggio 19.6

Eleva $- x - 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 ({(- x - 1)}^{1} {(- x - 1)}^{1}) (x - 2)$

Passaggio 19.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 {(- x - 1)}^{1 + 1} (x - 2)$

Passaggio 19.8

Somma $1$ e $1$ .

$(x + 7) (x - 7) \cdot - 1 {(- x - 1)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 20

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$- ((x + 7) (x - 7) {(- x - 1)}^{2} (x - 2))$

Passaggio 20.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x + 7) (x - 7) {(- x - 1)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 21

Scomponi $- 1$ da $- x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x) - 1)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 21.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x) - 1 (1))}^{2} (x - 2)$

Passaggio 21.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) {(- (x + 1))}^{2} (x - 2)$

Passaggio 22

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Applica la regola del prodotto a $- (x + 1)$ .

$- (x + 7) (x - 7) ({(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) (x - 2)$

Passaggio 22.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x + 7) (x - 7) {(- 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 23

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 23.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 23.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(- 1)}^{2 + 1} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$

Passaggio 23.3

Somma $2$ e $1$ .

${(- 1)}^{3} (x + 7) (x - 7) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$