Algebra Esempi

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} \geq \frac{2}{24}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{2}{24}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $\frac{1}{x - 10}$ per $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} \cdot \frac{x \cdot 24}{x \cdot 24} - \frac{2}{24} \geq 0$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{x - 10}$ per $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2}{24} \geq 0$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $\frac{2}{24}$ per $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - (\frac{2}{24} \cdot \frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}) \geq 0$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $\frac{2}{24}$ per $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Passaggio 2.1.7

Riordina i fattori di $x ((x - 10) \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Passaggio 2.1.8

Riordina i fattori di $(x - 10) (x \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Passaggio 2.1.9

Riordina i fattori di $24 (x (x - 10))$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x - 10) \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot 24 - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.3.2

Sposta $24$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{24 \cdot x - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 10$ per $24$ .

$\frac{24 \cdot x - 240 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.3.4

Sposta $24$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 \cdot x - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x \cdot x + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.3.7

Sposta $- 10$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} - 10 \cdot x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.3.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} - 2 (- 10 x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $- 10$ per $- 2$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.4

Somma $24 x$ e $24 x$ .

$\frac{48 x - 240 - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.5

Somma $48 x$ e $20 x$ .

$\frac{68 x - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $68 x - 240 - 2 x^{2}$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi $2$ da $68 x$ .

$\frac{2 (34 x) - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.6.2

Scomponi $2$ da $- 240$ .

$\frac{2 (34 x) + 2 (- 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.6.3

Scomponi $2$ da $2 (34 x) + 2 (- 120)$ .

$\frac{2 (34 x - 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.6.4

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.6.5

Scomponi $2$ da $2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.6.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1

Scomponi $2$ da $24 x (x - 10)$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Passaggio 2.6.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Passaggio 2.6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{34 x - 120 - x^{2}}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.7

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} + 34 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.7.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 120 = 120$ e la cui somma è $b = 34$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scomponi $34$ da $34 x$ .

$\frac{- x^{2} + 34 (x) - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.7.2.2

Riscrivi $34$ come $4$ più $30$ .

$\frac{- x^{2} + (4 + 30) x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.7.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.7.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.7.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x + 4) - 30 (- x + 4)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.7.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.9

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.10

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.11

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$12 x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 30 = 0$

$x - 10 = 0$

Passaggio 4

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 0$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $12$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6

Somma $30$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 30$

Passaggio 7

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = 4$

$x = 30$

$x = 10$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = 0, 4, 30, 10$

Passaggio 10

Trova il dominio di $- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$12 x (x - 10) = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Passaggio 10.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 10.2.3

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Imposta $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 10.2.3.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 10.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x (x - 10) = 0$ vera.

$x = 0, 10$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 10$

$10 < x < 30$

$x > 30$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{- 2} + \frac{1}{(- 2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $- 0.58\overline{3}$ è minore del lato destro di $0.08\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{(2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $0.375$ è maggiore del lato destro di $0.08\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $4 < x < 10$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $4 < x < 10$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 7$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $7$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{7} + \frac{1}{(7) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{190476}$ è minore del lato destro di $0.08\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $10 < x < 30$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $10 < x < 30$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 12$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $12$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{(12) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $0.58\overline{3}$ è maggiore del lato destro di $0.08\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 30$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 30$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 32$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $x$ con $32$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{32} + \frac{1}{(32) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Passaggio 12.5.3

Il lato sinistro di $0.07670\overline{45}$ è minore del lato destro di $0.08\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$4 < x < 10$ Falso

$10 < x < 30$ Vero

$x > 30$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$4 < x < 10$ Falso

$10 < x < 30$ Vero

$x > 30$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x \leq 4$ o $10 < x \leq 30$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$0 < x \leq 4 or 10 < x \leq 30$

Notazione degli intervalli:

$(0, 4] \cup (10, 30]$

Passaggio 15