Algebra Esempi

$2 x^{2} + x \geq 15$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} + x = 15$

Passaggio 2

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} + x - 15 = 0$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica per $1$ .

$2 x^{2} + 1 x - 15 = 0$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $1$ come $- 5$ più $6$ .

$2 x^{2} + (- 5 + 6) x - 15 = 0$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 5 x + 6 x - 15 = 0$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} - 5 x) + 6 x - 15 = 0$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x - 5) + 3 (2 x - 5) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 5$ .

$(2 x - 5) (x + 3) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 5

Imposta $2 x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $2 x - 5$ uguale a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $2 x - 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 5$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 5$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 6

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 5) (x + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{5}{2}, - 3$

Passaggio 8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(- 6)}^{2} - 6 \geq 15$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $66$ è maggiore del lato destro di $15$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(0)}^{2} + 0 \geq 15$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $15$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{5}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{5}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(5)}^{2} + 5 \geq 15$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $55$ è maggiore del lato destro di $15$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$x > \frac{5}{2}$ Vero

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$x > \frac{5}{2}$ Vero

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 3$ o $x \geq \frac{5}{2}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x \leq - 3 or x \geq \frac{5}{2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3] \cup [\frac{5}{2}, \infty)$

Passaggio 12