Algebra Esempi

$f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$ come un'equazione.

$y = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 3 + \frac{5}{e^{y - 6}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $3 + \frac{5}{e^{y - 6}} = x$ .

$3 + \frac{5}{e^{y - 6}} = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{5}{e^{y - 6}} = x - 3$

Passaggio 3.3

Moltiplica ogni lato per $e^{y - 6}$ .

$\frac{5}{e^{y - 6}} e^{y - 6} = (x - 3) e^{y - 6}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{y - 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5}{e^{y - 6}} e^{y - 6} = (x - 3) e^{y - 6}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$5 = (x - 3) e^{y - 6}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 = x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6} = 5$ .

$x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6} = 5$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $e^{y - 6}$ da $x e^{y - 6} - 3 e^{y - 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $e^{y - 6}$ da $x e^{y - 6}$ .

$e^{y - 6} x - 3 e^{y - 6} = 5$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $e^{y - 6}$ da $- 3 e^{y - 6}$ .

$e^{y - 6} x + e^{y - 6} \cdot - 3 = 5$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $e^{y - 6}$ da $e^{y - 6} x + e^{y - 6} \cdot - 3$ .

$e^{y - 6} (x - 3) = 5$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $x - 3$ ciascun termine in $e^{y - 6} (x - 3) = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $x - 3$ ciascun termine in $e^{y - 6} (x - 3) = 5$ .

$\frac{e^{y - 6} (x - 3)}{x - 3} = \frac{5}{x - 3}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{y - 6} (x - 3)}{x - 3} = \frac{5}{x - 3}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $e^{y - 6}$ per $1$ .

$e^{y - 6} = \frac{5}{x - 3}$

Passaggio 3.5.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y - 6}) = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Passaggio 3.5.5

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.5.1

Espandi $\ln (e^{y - 6})$ spostando $y - 6$ fuori dal logaritmo.

$(y - 6) \ln (e) = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Passaggio 3.5.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y - 6) \cdot 1 = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Passaggio 3.5.5.3

Moltiplica $y - 6$ per $1$ .

$y - 6 = \ln (\frac{5}{x - 3})$

Passaggio 3.5.6

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$ è l'inverso di $f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (\frac{5}{(3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) - 3}) + 6$

Passaggio 5.2.3

Combina i termini opposti in $\ln (\frac{5}{(3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) - 3}) + 6$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (\frac{5}{0 + \frac{5}{e^{x - 6}}}) + 6$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $0$ e $\frac{5}{e^{x - 6}}$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (\frac{5}{\frac{5}{e^{x - 6}}}) + 6$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 6}}{5})) + 6$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 6}}{5})) + 6$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = \ln (e^{x - 6}) + 6$

Passaggio 5.2.4.3

Usa le regole del logaritmo per togliere $x - 6$ dall'esponente.

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = (x - 6) \ln (e) + 6$

Passaggio 5.2.4.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = (x - 6) \cdot 1 + 6$

Passaggio 5.2.4.5

Moltiplica $x - 6$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = x - 6 + 6$

Passaggio 5.2.5

Combina i termini opposti in $x - 6 + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Somma $- 6$ e $6$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = x + 0$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 + \frac{5}{e^{x - 6}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) - 6}}$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $3 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) - 6}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $6$ da $6$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 3}) + 0}}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $\ln (\frac{5}{x - 3})$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 3})}}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + \frac{5}{\frac{5}{x - 3}}$

Passaggio 5.3.4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + 5 (\frac{x - 3}{5})$

Passaggio 5.3.4.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + 5 (\frac{x - 3}{5})$

Passaggio 5.3.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = 3 + x - 3$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $3 + x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 3}) + 6) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$ è l'inverso di $f (x) = 3 + \frac{5}{e^{x - 6}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 3}) + 6$