Algebra Esempi

$\frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1} > 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{3} - x = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - x$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - x = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$x (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi.

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Passaggio 2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 9

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 10

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 11

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 11.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 11.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 12

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0, - 1, 1$

$x = i, - i$

Passaggio 13

Consolida le soluzioni.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 14

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 15

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 15.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 15.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 4)}^{3} - (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 1} > 0$

Passaggio 15.1.3

Il lato sinistro di $- 3.52941176$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 15.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.5$

Passaggio 15.2.2

Sostituisci $x$ con $- 0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 0.5)}^{3} - (- 0.5)}{{(- 0.5)}^{2} + 1} > 0$

Passaggio 15.2.3

Il lato sinistro di $0.3$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 15.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 15.3.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0.5)}^{3} - (0.5)}{{(0.5)}^{2} + 1} > 0$

Passaggio 15.3.3

Il lato sinistro di $- 0.3$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 15.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 15.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(4)}^{3} - (4)}{{(4)}^{2} + 1} > 0$

Passaggio 15.4.3

Il lato sinistro di $3.52941176$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 15.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Vero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Vero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 16

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 < x < 0$ o $x > 1$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 1 < x < 0 or x > 1$

Notazione degli intervalli:

$(- 1, 0) \cup (1, \infty)$

Passaggio 18