Algebra Esempi

$1 = \frac{y - 6}{3 y} - \frac{y^{2} - 5 y - 24}{3 y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y - 6}{3 y} - \frac{y^{2} - 5 y - 24}{3 y} = 1$ .

$\frac{y - 6}{3 y} - \frac{y^{2} - 5 y - 24}{3 y} = 1$

Passaggio 2

Scomponi $y^{2} - 5 y - 24$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 24$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 8, 3$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{y - 6}{3 y} - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} = 1$

Passaggio 3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 y, 3 y, 1$

Passaggio 3.2

Poiché $3 y, 3 y, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $3, 3, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}, y^{1}$ .

Passaggio 3.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 3.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.6

Il minimo comune multiplo di $3, 3, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 3.7

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}, y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 3.9

Il minimo comune multiplo di $3 y, 3 y, 1$ è la parte numerica $3$ moltiplicata per la parte variabile.

$3 y$

Passaggio 4

Moltiplica per $3 y$ ciascun termine in $\frac{y - 6}{3 y} - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y - 6}{3 y} - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} = 1$ per $3 y$ .

$\frac{y - 6}{3 y} (3 y) - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{y - 6}{3 y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 y$ .

$3 \frac{y - 6}{3 (y)} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y - 6}{3 y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y - 6}{y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 6}{y} y - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y - 6 - \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{(y - 8) (y + 3)}{3 y}$ nel numeratore.

$y - 6 + \frac{- (y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y - 6 + \frac{- (y - 8) (y + 3)}{3 y} (3 y) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y - 6 - (y - 8) (y + 3) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 + (- y - - 8) (y + 3) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$y - 6 + (- y + 8) (y + 3) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.7

Espandi $(- y + 8) (y + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 - y (y + 3) + 8 (y + 3) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 - y \cdot y - y \cdot 3 + 8 (y + 3) = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 - y \cdot y - y \cdot 3 + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.8.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.8.1.1.1

Sposta $y$ .

$y - 6 - (y \cdot y) - y \cdot 3 + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.8.1.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y - 6 - y^{2} - y \cdot 3 + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.8.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y - 6 - y^{2} - 3 y + 8 y + 8 \cdot 3 = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.8.1.3

Moltiplica $8$ per $3$ .

$y - 6 - y^{2} - 3 y + 8 y + 24 = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.1.8.2

Somma $- 3 y$ e $8 y$ .

$y - 6 - y^{2} + 5 y + 24 = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $y$ e $5 y$ .

$6 y - 6 - y^{2} + 24 = 1 (3 y)$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 6$ e $24$ .

$6 y - y^{2} + 18 = 1 (3 y)$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $3 y$ per $1$ .

$6 y - y^{2} + 18 = 3 y$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 y - y^{2} + 18 - 3 y = 0$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $3 y$ da $6 y$ .

$3 y - y^{2} + 18 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sia $u = y$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $u$ .

$3 u - u^{2} + 18 = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.2.2.1

Riordina i termini.

$- u^{2} + 3 u + 18 = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 18 = - 18$ e la cui somma è $b = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 u$ .

$- u^{2} + 3 (u) + 18 = 0$

Passaggio 5.2.2.2.2

Riscrivi $3$ come $- 3$ più $6$ .

$- u^{2} + (- 3 + 6) u + 18 = 0$

Passaggio 5.2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- u^{2} - 3 u + 6 u + 18 = 0$

Passaggio 5.2.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(- u^{2} - 3 u) + 6 u + 18 = 0$

Passaggio 5.2.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (- u - 3) - 6 (- u - 3) = 0$

Passaggio 5.2.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 3$ .

$(- u - 3) (u - 6) = 0$

Passaggio 5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$(- y - 3) (y - 6) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- y - 3 = 0$

$y - 6 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $- y - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $- y - 3$ uguale a $0$ .

$- y - 3 = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $- y - 3 = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y = 3$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = 3$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{3}{- 1}$

Passaggio 5.4.2.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{3}{- 1}$

Passaggio 5.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.2.2.3.1

Dividi $3$ per $- 1$ .

$y = - 3$

Passaggio 5.5

Imposta $y - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $y - 6$ uguale a $0$ .

$y - 6 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 6$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(- y - 3) (y - 6) = 0$ vera.

$y = - 3, 6$