Algebra Esempi

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} = x^{a}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $x^{a} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ .

$x^{a} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (x^{a}) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$

Passaggio 3

Espandi $\ln (x^{a})$ spostando $a$ fuori dal logaritmo.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.1

Semplifica $\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}})$ .

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})$

Passaggio 4.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})$

Passaggio 4.1.2.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})$

Passaggio 4.1.2.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})$

Passaggio 4.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})$

Passaggio 4.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})$

Passaggio 4.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 4.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 4.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 4.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 4.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x^{1}})$

Passaggio 4.1.2.6.5

Semplifica.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Passaggio 4.1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{1 - \frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Passaggio 4.1.4.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 5

Dividi per $\ln (x)$ ciascun termine in $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $\ln (x)$ ciascun termine in $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{\ln (\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{\ln (x)}$