Algebra Esempi

$y = {(\frac{3}{2})}^{x}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = {(\frac{3}{2})}^{y}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come ${(\frac{3}{2})}^{y} = x$ .

${(\frac{3}{2})}^{y} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(\frac{3}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.1

Espandi $\ln ({(\frac{3}{2})}^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\ln (\frac{3}{2})$ come $\ln (3) - \ln (2)$ .

$y (\ln (3) - \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

Passaggio 2.5

Dividi per $\ln (\frac{3}{2})$ ciascun termine in $y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Dividi per $\ln (\frac{3}{2})$ ciascun termine in $y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ .

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (\frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.3

Espandi $\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $\ln (\frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = {(\frac{3}{2})}^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 4.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = \frac{3^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}{2^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$