Algebra Esempi

${(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x} = 1$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x}) = \ln (1)$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Espandi $\ln ({(2^{x^{2} - 2 x})}^{4 - x})$ spostando $4 - x$ fuori dal logaritmo.

$(4 - x) \ln (2^{x^{2} - 2 x}) = \ln (1)$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (2^{x^{2} - 2 x})$ spostando $x^{2} - 2 x$ fuori dal logaritmo.

$(4 - x) ((x^{2} - 2 x) \ln (2)) = \ln (1)$

Passaggio 2.3

Rimuovi le parentesi.

$(4 - x) (x^{2} - 2 x) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $(4 - x) (x^{2} - 2 x) \ln (2)$ .

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Passaggio 3.1.1

Espandi $(4 - x) (x^{2} - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 (x^{2} - 2 x) - x (x^{2} - 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 (- 2 x) - x (x^{2} - 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 (- 2 x) - x \cdot x^{2} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x \cdot x^{2} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 8 x - (x^{2} x) - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.1.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x - (x^{2} x^{1}) - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(4 x^{2} - 8 x - x^{2 + 1} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - x (- 2 x)) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 x \cdot x) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 (x \cdot x)) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} - 1 \cdot - 2 x^{2}) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$(4 x^{2} - 8 x - x^{3} + 2 x^{2}) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$(6 x^{2} - 8 x - x^{3}) \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) - x^{3} \ln (2) = \ln (1)$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) - x^{3} \ln (2) = 0$

Passaggio 5

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1

Sposta $- 8 x \ln (2)$ .

$6 x^{2} \ln (2) - x^{3} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Passaggio 5.2

Riordina $6 x^{2} \ln (2)$ e $- x^{3} \ln (2)$ .

$- x^{3} \ln (2) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Passaggio 6

Scomponi $x \ln (2)$ da $- x^{3} \ln (2) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2)$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi $x \ln (2)$ da $- x^{3} \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + 6 x^{2} \ln (2) - 8 x \ln (2) = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $x \ln (2)$ da $6 x^{2} \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x) - 8 x \ln (2) = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $x \ln (2)$ da $- 8 x \ln (2)$ .

$x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x) + x \ln (2) \cdot - 8 = 0$

Passaggio 6.4

Scomponi $x \ln (2)$ da $x \ln (2) (- x^{2}) + x \ln (2) (6 x)$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 x) + x \ln (2) \cdot - 8 = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi $x \ln (2)$ da $x \ln (2) (- x^{2} + 6 x) + x \ln (2) \cdot - 8$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 x - 8) = 0$

Passaggio 7

Scomponi.

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Passaggio 7.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 7.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ e la cui somma è $b = 6$ .

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Passaggio 7.1.1.1

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + 6 (x) - 8) = 0$

Passaggio 7.1.1.2

Riscrivi $6$ come $2$ più $4$ .

$x \ln (2) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8) = 0$

Passaggio 7.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (2) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8) = 0$

Passaggio 7.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x \ln (2) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x \ln (2) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)) = 0$

Passaggio 7.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$x \ln (2) ((- x + 2) (x - 4)) = 0$

Passaggio 7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x \ln (2) (- x + 2) (x - 4) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$- x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 9

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 10

Imposta $- x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $- x + 2$ uguale a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $- x + 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 10.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 11

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x \ln (2) (- x + 2) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 2, 4$