Algebra Esempi

$\sqrt{x^{2} - 2 x} < \sqrt{3 x + 6}$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{x^{2} - 2 x}}^{2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} - 2 x}$ come ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} - 2 x)}^{1} < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 x + 6}}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${\sqrt{3 x + 6}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $3$ da $3 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 (x) + 6}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 x + 3 \cdot 2}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 2$ .

$x^{2} - 2 x < {\sqrt{3 (x + 2)}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{3 (x + 2)}}^{2}$ come $3 (x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 (x + 2)}$ come ${(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - 2 x < {({(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 2 x < {(3 (x + 2))}^{1}$

Passaggio 2.3.1.2.5

Semplifica.

$x^{2} - 2 x < 3 (x + 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 2 x < 3 x + 3 \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x^{2} - 2 x < 3 x + 6$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} - 2 x - 3 x < 6$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $3 x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} - 5 x < 6$

Passaggio 3.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 5 x = 6$

Passaggio 3.3

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 5 x - 6 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $x^{2} - 5 x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 6, 1$

Passaggio 3.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 6) (x + 1) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 6, - 1$

Passaggio 4

Trova il dominio di $\sqrt{x (x - 2)} - \sqrt{3 (x + 2)}$ .

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Passaggio 4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x (x - 2)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x (x - 2) \geq 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.2.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 2) \geq 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 4.2.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 4.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 4.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$(- 2) ((- 2) - 2) \geq 0$

Passaggio 4.2.6.1.3

Il lato sinistro di $8$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 4.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$(1) ((1) - 2) \geq 0$

Passaggio 4.2.6.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 4.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$(4) ((4) - 2) \geq 0$

Passaggio 4.2.6.3.3

Il lato sinistro di $8$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Vero

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

$x < 0$ Vero

$0 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Vero

Passaggio 4.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq 0$ o $x \geq 2$

Passaggio 4.3

Imposta il radicando in $\sqrt{3 (x + 2)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 (x + 2) \geq 0$

Passaggio 4.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x + 2) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x + 2) \geq 0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 4.4.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x + 2)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 4.4.1.2.1.2

Dividi $x + 2$ per $1$ .

$x + 2 \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 4.4.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x + 2 \geq 0$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 2$

Passaggio 4.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 2, 0] \cup [2, \infty)$

Passaggio 5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4} < \sqrt{3 (- 4) + 6}$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1.5$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1.5$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{{(- 1.5)}^{2} - 2 \cdot - 1.5} < \sqrt{3 (- 1.5) + 6}$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro di $2.29128784$ non è minore del lato destro di $1.22474487$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.5$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $- 0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{{(- 0.5)}^{2} - 2 \cdot - 0.5} < \sqrt{3 (- 0.5) + 6}$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $1.11803398$ è minore del lato destro di $2.12132034$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.4

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 6.4.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1} < \sqrt{3 (1) + 6}$

Passaggio 6.4.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 6.5

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 6.5.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{{(4)}^{2} - 2 \cdot 4} < \sqrt{3 (4) + 6}$

Passaggio 6.5.3

Il lato sinistro di $2.82842712$ è minore del lato destro di $4.24264068$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.6

Testa un valore sull'intervallo $x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 6.6.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{{(8)}^{2} - 2 \cdot 8} < \sqrt{3 (8) + 6}$

Passaggio 6.6.3

Il lato sinistro di $6.92820323$ non è minore del lato destro di $5.47722557$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 6.7

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Vero

$0 < x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Vero

$x > 6$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 0$ Vero

$0 < x < 2$ Falso

$2 < x < 6$ Vero

$x > 6$ Falso

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 < x < 0$ o $2 < x < 6$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 1 < x < 0 or 2 < x < 6$

Notazione degli intervalli:

$(- 1, 0) \cup (2, 6)$

Passaggio 9