Algebra Esempi

$9 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x^{5} - 18 x^{7}$

Passaggio 1

Scomponi $3 x^{2}$ da $9 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x^{5} - 18 x^{7}$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $3 x^{2}$ da $9 x^{3}$ .

$3 x^{2} (3 x) - 6 x^{2} + 12 x^{5} - 18 x^{7}$

Passaggio 1.2

Scomponi $3 x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2) + 12 x^{5} - 18 x^{7}$

Passaggio 1.3

Scomponi $3 x^{2}$ da $12 x^{5}$ .

$3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2) + 3 x^{2} (4 x^{3}) - 18 x^{7}$

Passaggio 1.4

Scomponi $3 x^{2}$ da $- 18 x^{7}$ .

$3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2) + 3 x^{2} (4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$

Passaggio 1.5

Scomponi $3 x^{2}$ da $3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} (- 2)$ .

$3 x^{2} (3 x - 2) + 3 x^{2} (4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$

Passaggio 1.6

Scomponi $3 x^{2}$ da $3 x^{2} (3 x - 2) + 3 x^{2} (4 x^{3})$ .

$3 x^{2} (3 x - 2 + 4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$

Passaggio 1.7

Scomponi $3 x^{2}$ da $3 x^{2} (3 x - 2 + 4 x^{3}) + 3 x^{2} (- 6 x^{5})$ .

$3 x^{2} (3 x - 2 + 4 x^{3} - 6 x^{5})$

Passaggio 2

Raggruppa i termini.

$3 x^{2} (- 6 x^{5} + 3 x - 2 + 4 x^{3})$

Passaggio 3

Riordina i termini.

$3 x^{2} (- 6 x^{5} + 4 x^{3} + 3 x - 2)$

Passaggio 4

Scomponi $4 x^{3} + 3 x - 2$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 4.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 4.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Passaggio 4.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

Passaggio 4.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $4$ per $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $3$ per $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Passaggio 4.3.5

Somma $0.5$ e $1.5$ .

$2 - 2$

Passaggio 4.3.6

Sottrai $2$ da $2$ .

$0$

Passaggio 4.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

Passaggio 4.5

Dividi $4 x^{3} + 3 x - 2$ per $2 x - 1$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Passaggio 4.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 4.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 4.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Passaggio 4.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 4.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 4.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Passaggio 4.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 4.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Passaggio 4.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Passaggio 4.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Passaggio 4.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Passaggio 4.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x - 2$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Passaggio 4.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

Passaggio 4.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} + x + 2$

Passaggio 4.6

Scrivi $4 x^{3} + 3 x - 2$ come insieme di fattori.

$3 x^{2} (- 6 x^{5} + (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2))$

Passaggio 5

Scomponi $- 1$ da $- 6 x^{5} + (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2)$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $- 1$ da $- 6 x^{5}$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5}) + (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2))$

Passaggio 5.2

Scomponi $- 1$ da $(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2)$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5}) - ((- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2)))$

Passaggio 5.3

Scomponi $- 1$ da $- (6 x^{5}) - ((- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2))$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} + (- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2)))$

Passaggio 6

Espandi $(- 2 x + 1) (2 x^{2} + x + 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 x (2 x^{2}) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 2 \cdot 2 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.4.1

Sposta $x$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1 (2 x^{2}) + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.6

Moltiplica $2 x^{2}$ per $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + x + 1 \cdot 2))$

Passaggio 7.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + x + 2))$

Passaggio 8

Combina i termini opposti in $- 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2} + x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Somma $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x + 0 + x + 2))$

Passaggio 8.2

Somma $- 4 x^{3} - 4 x$ e $0$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x + x + 2))$

Passaggio 9

Somma $- 4 x$ e $x$ .

$3 x^{2} (- (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2))$

Passaggio 10

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 x^{2} \cdot - 1 (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2)$

Passaggio 11

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 11.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$- (3 x^{2} (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2))$

Passaggio 11.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 (x^{2} (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2))$

Passaggio 12

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 x^{2} (6 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x + 2)$