Algebra Esempi

$\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 y^{2} + 24 y + 48}{y^{2}}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $3$ da $3 y^{2} + 24 y + 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $3$ da $3 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 (y^{2}) + 24 y + 48}{y^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $3$ da $24 y$ .

$\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 (y^{2}) + 3 (8 y) + 48}{y^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $3$ da $48$ .

$\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 y^{2} + 3 (8 y) + 3 \cdot 16}{y^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $3$ da $3 y^{2} + 3 (8 y)$ .

$\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 (y^{2} + 8 y) + 3 \cdot 16}{y^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Scomponi $3$ da $3 (y^{2} + 8 y) + 3 \cdot 16$ .

$\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 (y^{2} + 8 y + 16)}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 (y^{2} + 8 y + 4^{2})}{y^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 y = 2 \cdot y \cdot 4$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 (y^{2} + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^{2})}{y^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = y$ e $b = 4$ .

$\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y^{2}, 2 y^{2}, y^{2}$

Passaggio 2.2

Poiché $y^{2}, 2 y^{2}, y^{2}$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 2, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{2}, y^{2}, y^{2}$ .

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 2.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $1, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 2.8

I fattori di $y^{2}$ sono $y \cdot y$ , che corrisponde a $y$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{2}, y^{2}, y^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y \cdot y$

Passaggio 2.10

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2}$

Passaggio 2.11

Il minimo comune multiplo di $y^{2}, 2 y^{2}, y^{2}$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 y^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica per $2 y^{2}$ ciascun termine in $\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{y^{2}} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}}$ per $2 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{y - 6}{2 y^{2}} (2 y^{2}) + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{y^{2}} y^{2} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} (2 y^{2}) + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.2

$2$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2}{y^{2}} y^{2} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} (2 y^{2}) + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{y^{2}} y^{2} = \frac{y - 6}{2 y^{2}} (2 y^{2}) + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = \frac{y - 6}{2 y^{2}} (2 y^{2}) + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 = 2 \frac{y - 6}{2 y^{2}} y^{2} + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y^{2}$ .

$2 = 2 \frac{y - 6}{2 (y^{2})} y^{2} + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 = 2 \frac{y - 6}{2 y^{2}} y^{2} + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 = \frac{y - 6}{y^{2}} y^{2} + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 = \frac{y - 6}{y^{2}} y^{2} + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = y - 6 + \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} (2 y^{2})$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 = y - 6 + 2 \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $2 \frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

$2$ e $\frac{3 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}}$ .

$2 = y - 6 + \frac{2 (3 {(y + 4)}^{2})}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 = y - 6 + \frac{6 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 3.3.1.6

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$2 = y - 6 + \frac{6 {(y + 4)}^{2}}{y^{2}} y^{2}$

Passaggio 3.3.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = y - 6 + 6 {(y + 4)}^{2}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $y - 6 + 6 {(y + 4)}^{2} = 2$ .

$y - 6 + 6 {(y + 4)}^{2} = 2$

Passaggio 4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 6 + 6 {(y + 4)}^{2} - 2 = 0$

Passaggio 4.3

Semplifica $y - 6 + 6 {(y + 4)}^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi ${(y + 4)}^{2}$ come $(y + 4) (y + 4)$ .

$y - 6 + 6 ((y + 4) (y + 4)) - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.2

Espandi $(y + 4) (y + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 + 6 (y (y + 4) + 4 (y + 4)) - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 + 6 (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4)) - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 + 6 (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y - 6 + 6 (y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.3.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$y - 6 + 6 (y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4) - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y - 6 + 6 (y^{2} + 4 y + 4 y + 16) - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.3.2

Somma $4 y$ e $4 y$ .

$y - 6 + 6 (y^{2} + 8 y + 16) - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$y - 6 + 6 y^{2} + 6 (8 y) + 6 \cdot 16 - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.5.1

Moltiplica $8$ per $6$ .

$y - 6 + 6 y^{2} + 48 y + 6 \cdot 16 - 2 = 0$

Passaggio 4.3.1.5.2

Moltiplica $6$ per $16$ .

$y - 6 + 6 y^{2} + 48 y + 96 - 2 = 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $y$ e $48 y$ .

$49 y - 6 + 6 y^{2} + 96 - 2 = 0$

Passaggio 4.3.3

Somma $- 6$ e $96$ .

$49 y + 6 y^{2} + 90 - 2 = 0$

Passaggio 4.3.4

Sottrai $2$ da $90$ .

$49 y + 6 y^{2} + 88 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sia $u = y$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $u$ .

$49 u + 6 u^{2} + 88 = 0$

Passaggio 4.4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Riordina i termini.

$6 u^{2} + 49 u + 88 = 0$

Passaggio 4.4.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 6 \cdot 88 = 528$ e la cui somma è $b = 49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Scomponi $49$ da $49 u$ .

$6 u^{2} + 49 (u) + 88 = 0$

Passaggio 4.4.2.2.2

Riscrivi $49$ come $16$ più $33$ .

$6 u^{2} + (16 + 33) u + 88 = 0$

Passaggio 4.4.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 u^{2} + 16 u + 33 u + 88 = 0$

Passaggio 4.4.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(6 u^{2} + 16 u) + 33 u + 88 = 0$

Passaggio 4.4.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 u (3 u + 8) + 11 (3 u + 8) = 0$

Passaggio 4.4.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u + 8$ .

$(3 u + 8) (2 u + 11) = 0$

Passaggio 4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$(3 y + 8) (2 y + 11) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 y + 8 = 0$

$2 y + 11 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $3 y + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta $3 y + 8$ uguale a $0$ .

$3 y + 8 = 0$

Passaggio 4.6.2

Risolvi $3 y + 8 = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = - 8$

Passaggio 4.6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = - 8$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 4.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 4.6.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 4.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{8}{3}$

Passaggio 4.7

Imposta $2 y + 11$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta $2 y + 11$ uguale a $0$ .

$2 y + 11 = 0$

Passaggio 4.7.2

Risolvi $2 y + 11 = 0$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = - 11$

Passaggio 4.7.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = - 11$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = - 11$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 11}{2}$

Passaggio 4.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 11}{2}$

Passaggio 4.7.2.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 11}{2}$

Passaggio 4.7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{11}{2}$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 y + 8) (2 y + 11) = 0$ vera.

$y = - \frac{8}{3}, - \frac{11}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = - \frac{8}{3}, - \frac{11}{2}$

Forma decimale:

$y = - 2.\overline{6}, - 5.5$

Forma numero misto:

$y = - 2 \frac{2}{3}, - 5 \frac{1}{2}$