Algebra Esempi

$y = \sqrt{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{y^{2} - 4}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{y^{2} - 4} = x$ .

$\sqrt{y^{2} - 4} = x$

Passaggio 2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y^{2} - 4}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y^{2} - 4}$ come ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y^{2} - 4)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Semplifica.

$y^{2} - 4 = x^{2}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.4.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = x^{2} + 4$

Passaggio 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.4.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.4.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Passaggio 2.4.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

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Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

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Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $\sqrt{x^{2} + 4}$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} + 4}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 4 \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \geq - 4$

Passaggio 4.3.2.2

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 4.3.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ non è un inverso di $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 5