Algebra Esempi

$2^{2 + x} \cdot 3^{x} = \frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo dell'equazione assegnata.

$\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Passaggio 2

Riscrivi $\ln (2^{2 + x} \cdot 3^{x})$ come $\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x})$ .

$\ln (2^{2 + x}) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Passaggio 3

Espandi $\ln (2^{2 + x})$ spostando $2 + x$ fuori dal logaritmo.

$(2 + x) \ln (2) + \ln (3^{x}) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Passaggio 4

Espandi $\ln (3^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$

Passaggio 5

Riscrivi $\ln (\frac{2}{3} \cdot 6^{3 x - 1})$ come $\ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$ .

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (\frac{2}{3}) + \ln (6^{3 x - 1})$

Passaggio 6

Riscrivi $\ln (\frac{2}{3})$ come $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + \ln (6^{3 x - 1})$

Passaggio 7

Espandi $\ln (6^{3 x - 1})$ spostando $3 x - 1$ fuori dal logaritmo.

$(2 + x) \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Passaggio 8

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \ln (2) + x \ln (2) + x \ln (3) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Passaggio 8.1.2

Sposta $2 \ln (2)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (2) - \ln (3) + (3 x - 1) \ln (6)$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + (3 x - 1) \ln (6)$

Passaggio 8.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - 1 \ln (6)$

Passaggio 8.2.2.2

Riscrivi $- 1 \ln (6)$ come $- \ln (6)$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = \ln (\frac{2}{3}) + 3 x \ln (6) - \ln (6)$

Passaggio 8.2.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{\frac{2}{3}}{6})$

Passaggio 8.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6})$

Passaggio 8.2.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (3)})$

Passaggio 8.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 3})$

Passaggio 8.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Passaggio 8.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{3 \cdot 3})$

Passaggio 8.2.4.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Semplifica $2 \ln (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (2^{2}) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = 3 x \ln (6) + \ln (\frac{1}{9})$

Passaggio 8.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Semplifica $3 \ln (6)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (6^{3}) + \ln (\frac{1}{9})$

Passaggio 8.4.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) = x \ln (216) + \ln (\frac{1}{9})$

Passaggio 8.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (4) - x \ln (216) - \ln (\frac{1}{9}) = 0$

Passaggio 8.6

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (\frac{4}{\frac{1}{9}}) = 0$

Passaggio 8.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.7.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (4 \cdot 9) = 0$

Passaggio 8.7.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) + \ln (36) = 0$

Passaggio 8.8

Sottrai $\ln (36)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Passaggio 8.9

Scomponi $x$ da $x \ln (2) + x \ln (3) - x \ln (216)$ .

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Passaggio 8.9.1

Scomponi $x$ da $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + x \ln (3) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Passaggio 8.9.2

Scomponi $x$ da $x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) - x \ln (216) = - \ln (36)$

Passaggio 8.9.3

Scomponi $x$ da $- x \ln (216)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Passaggio 8.9.4

Scomponi $x$ da $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Passaggio 8.9.5

Scomponi $x$ da $x (\ln (2) + \ln (3)) + x (- 1 \ln (216))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3) - 1 \ln (216)) = - \ln (36)$

Passaggio 8.10

Riscrivi $- 1 \ln (216)$ come $- \ln (216)$ .

$x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$

Passaggio 8.11

Dividi per $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ ciascun termine in $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ e semplifica.

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Passaggio 8.11.1

Dividi per $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ ciascun termine in $x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)) = - \ln (36)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Passaggio 8.11.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.11.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)$ .

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Passaggio 8.11.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3) - \ln (216))}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)} = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Passaggio 8.11.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Passaggio 8.11.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.11.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{\ln (36)}{\ln (2) + \ln (3) - \ln (216)}$

Forma decimale:

$x = 1$