Algebra Esempi

$y = - {(\frac{1}{4} x)}^{2} + 5$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y = - {(\frac{x}{4})}^{2} + 5$

Passaggio 1.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4^{2}} + 5$

Passaggio 1.1.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{16} + 5$

Passaggio 1.1.2

Completa il quadrato per $- \frac{x^{2}}{16} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{16}$

$b = 0$

$c = 5$

Passaggio 1.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{16})}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{16})}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{16})}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{16}}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 0 (- 1 \cdot 16)$

Passaggio 1.1.2.3.2.3

Moltiplica $0 (- 1 \cdot 16)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$d = 0 \cdot - 16$

Passaggio 1.1.2.3.2.3.2

Moltiplica $0$ per $- 16$ .

$d = 0$

Passaggio 1.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{16})}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 5 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{16})}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 5 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{16})}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{16}$ .

$e = 5 - \frac{0}{\frac{- 4}{16}}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$e = 5 - \frac{0}{\frac{4 (- 1)}{16}}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$e = 5 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 5 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 5 - \frac{0}{\frac{- 1}{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 5 - \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = 5 - (0 (- 1 \cdot 4))$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.5

Moltiplica $- (0 (- 1 \cdot 4))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 5 - (0 \cdot - 4)$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.5.2

Moltiplica $0$ per $- 4$ .

$e = 5 - 0$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.5.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 5 + 0$

Passaggio 1.1.2.4.2.2

Somma $5$ e $0$ .

$e = 5$

Passaggio 1.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- \frac{1}{16} {(x + 0)}^{2} + 5$ .

$- \frac{1}{16} {(x + 0)}^{2} + 5$

Passaggio 1.1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - \frac{1}{16} \cdot {(x + 0)}^{2} + 5$

Passaggio 1.2

Usa la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{16}$

$h = 0$

$k = 5$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, 5)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{16})}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{16})}$

Passaggio 1.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{16})}$

Passaggio 1.5.3.2

$4$ e $\frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{16}}$

Passaggio 1.5.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{16}}$

Passaggio 1.5.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 1.5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Passaggio 1.5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1.5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 \cdot 4)$

Passaggio 1.5.3.5

Moltiplica $- (1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.5.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Passaggio 1.5.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, 1)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 0$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = 9$

Passaggio 1.9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 5)$

Fuoco: $(0, 1)$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = 9$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 5)$

Fuoco: $(0, 1)$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = 9$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{16} + 5$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{16} + 5$

Passaggio 2.2.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{16} + 5 \cdot \frac{16}{16}$

Passaggio 2.2.3

$5$ e $\frac{16}{16}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{16} + \frac{5 \cdot 16}{16}$

Passaggio 2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5 \cdot 16}{16}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $5$ per $16$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 80}{16}$

Passaggio 2.2.5.2

Somma $- 1$ e $80$ .

$f (- 1) = \frac{79}{16}$

Passaggio 2.2.6

La risposta finale è $\frac{79}{16}$ .

$\frac{79}{16}$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $\frac{79}{16}$ .

$y = \frac{79}{16}$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{16} + 5$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{16} + 5$

Passaggio 2.5.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (- 2) = - \frac{4 (1)}{16} + 5$

Passaggio 2.5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.2.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (- 2) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} + 5$

Passaggio 2.5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} + 5$

Passaggio 2.5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2) = - \frac{1}{4} + 5$

Passaggio 2.5.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.5.3

$5$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{1}{4} + \frac{5 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 2) = \frac{- 1 + 5 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Moltiplica $5$ per $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 + 20}{4}$

Passaggio 2.5.5.2

Somma $- 1$ e $20$ .

$f (- 2) = \frac{19}{4}$

Passaggio 2.5.6

La risposta finale è $\frac{19}{4}$ .

$\frac{19}{4}$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $\frac{19}{4}$ .

$y = \frac{19}{4}$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{16} + 5$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - \frac{1}{16} + 5$

Passaggio 2.8.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$f (1) = - \frac{1}{16} + 5 \cdot \frac{16}{16}$

Passaggio 2.8.3

$5$ e $\frac{16}{16}$ .

$f (1) = - \frac{1}{16} + \frac{5 \cdot 16}{16}$

Passaggio 2.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{- 1 + 5 \cdot 16}{16}$

Passaggio 2.8.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Moltiplica $5$ per $16$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 80}{16}$

Passaggio 2.8.5.2

Somma $- 1$ e $80$ .

$f (1) = \frac{79}{16}$

Passaggio 2.8.6

La risposta finale è $\frac{79}{16}$ .

$\frac{79}{16}$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $\frac{79}{16}$ .

$y = \frac{79}{16}$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{16} + 5$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = - \frac{4}{16} + 5$

Passaggio 2.11.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (2) = - \frac{4 (1)}{16} + 5$

Passaggio 2.11.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.2.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (2) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} + 5$

Passaggio 2.11.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} + 5$

Passaggio 2.11.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = - \frac{1}{4} + 5$

Passaggio 2.11.2

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = - \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.11.3

$5$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = - \frac{1}{4} + \frac{5 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{- 1 + 5 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.11.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1

Moltiplica $5$ per $4$ .

$f (2) = \frac{- 1 + 20}{4}$

Passaggio 2.11.5.2

Somma $- 1$ e $20$ .

$f (2) = \frac{19}{4}$

Passaggio 2.11.6

La risposta finale è $\frac{19}{4}$ .

$\frac{19}{4}$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $\frac{19}{4}$ .

$y = \frac{19}{4}$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{19}{4} \\ - 1 & \frac{79}{16} \\ 0 & 5 \\ 1 & \frac{79}{16} \\ 2 & \frac{19}{4} \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 5)$

Fuoco: $(0, 1)$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = 9$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & \frac{19}{4} \\ - 1 & \frac{79}{16} \\ 0 & 5 \\ 1 & \frac{79}{16} \\ 2 & \frac{19}{4} \end{array}$

Passaggio 4