Algebra Esempi

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x + 2} = 3$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{x + 2} = 3$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x + 2} = 3$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(x + 2) (x - 2), x + 2, 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 2$ è $x - 2$ stesso.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $x + 2, x - 2, x + 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 2) (x - 2)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x + 2) (x - 2)$ ciascun termine in $\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x + 2} = 3$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x + 2} = 3$ per $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{1}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = 3 ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $(x + 2) (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{1}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = 3 ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x + \frac{1}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = 3 ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x + \frac{1}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) = 3 ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x + x - 2 = 3 ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.2.2

Somma $x$ e $x$ .

$2 x - 2 = 3 ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 2 = 3 (x (x - 2) + 2 (x - 2))$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 2 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 2 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$2 x - 2 = 3 (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$2 x - 2 = 3 (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$2 x - 2 = 3 (x \cdot x + 2 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x - 2 = 3 (x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 x - 2 = 3 (x^{2} - 4)$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 3.3.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 2 = 3 x^{2} + 3 \cdot - 4$

Passaggio 3.3.2.3.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$2 x - 2 = 3 x^{2} - 12$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - 2 - 3 x^{2} = - 12$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - 2 - 3 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 2$ e $12$ .

$2 x - 3 x^{2} + 10 = 0$

Passaggio 4.3

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.4

Sostituisci i valori $a = - 3$ , $b = 2$ e $c = 10$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 10)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 3 \cdot 10}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 3 \cdot 10$ .

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Passaggio 4.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 \cdot 10}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 4.5.1.2.2

Moltiplica $12$ per $10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 4.5.1.3

Somma $4$ e $120$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 4.5.1.4

Riscrivi $124$ come $2^{2} \cdot 31$ .

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Passaggio 4.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $124$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 4.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 4.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{31}}{- 6}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{31}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 4.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}, \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{1 + \sqrt{31}}{3}, \frac{1 - \sqrt{31}}{3}$

Forma decimale:

$x = 2.18925478 \dots, - 1.52258812 \dots$