Algebra Esempi

$\frac{8 x^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \div \frac{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 1

Per dividere un numero per una frazione, moltiplicalo per il suo reciproco.

$\frac{8 x^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $8 x^{3}$ come ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $125 y^{3}$ come ${(5 y)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - {(5 y)}^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 2 x$ e $b = 5 y$ .

$\frac{(2 x - (5 y)) ({(2 x)}^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (2^{2} x^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 2 \cdot 5 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 2.4.6

Applica la regola del prodotto a $5 y$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 5^{2} y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 2.4.7

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}$ da $(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2})$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}) (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}) (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x - 5 y}{{(2 x + 5 y)}^{3}} (4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2})$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{2 x - 5 y}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$ per $4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Passaggio 4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 20 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $25 y^{2}$ come ${(5 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 20 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Passaggio 4.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$20 x y = 2 \cdot (2 x) \cdot (5 y)$

Passaggio 4.4

Riscrivi il polinomio.

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Passaggio 4.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 2 x$ e $b = 5 y$ .

$\frac{(2 x - 5 y) {(2 x + 5 y)}^{2}}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di ${(2 x + 5 y)}^{2}$ e ${(2 x + 5 y)}^{3}$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi ${(2 x + 5 y)}^{2}$ da $(2 x - 5 y) {(2 x + 5 y)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.1

Scomponi ${(2 x + 5 y)}^{2}$ da ${(2 x + 5 y)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x + 5 y)}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x + 5 y)}$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x - 5 y}{2 x + 5 y}$