Algebra Esempi

$\frac{4}{x^{3}} - \frac{2 x - 1}{3 x}$

Passaggio 1

Per scrivere $\frac{4}{x^{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x - 1}{3 x}$

Passaggio 2

Per scrivere $- \frac{2 x - 1}{3 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 x^{3}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{4}{x^{3}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{2 x - 1}{3 x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{2 x - 1}{3 x}$ per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 (x^{2} x)}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 (x^{2} x^{1})}$

Passaggio 3.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{2 + 1}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{4 \cdot 3}{x^{3} \cdot 3} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori di $x^{3} \cdot 3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3 x^{3}} - \frac{(2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \cdot 3 - (2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12 - (2 x - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 + (- (2 x) - - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{12 + (- 2 x - - 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{12 + (- 2 x + 1) x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 - 2 x \cdot x^{2} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.6

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{12 - 2 (x^{2} x) + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 5.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{12 - 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{12 - 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{12 - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{12 - 2 x^{3} + x^{2}}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.8

Riordina i termini.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 12}{3 x^{3}}$

Passaggio 5.9

Scomponi $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 5.9.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 5.9.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Passaggio 5.9.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 5.9.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$- 2 \cdot 2^{3} + 2^{2} + 12$

Passaggio 5.9.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 2^{2} + 12$

Passaggio 5.9.3.3

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$- 16 + 2^{2} + 12$

Passaggio 5.9.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 16 + 4 + 12$

Passaggio 5.9.3.5

Somma $- 16$ e $4$ .

$- 12 + 12$

Passaggio 5.9.3.6

Somma $- 12$ e $12$ .

$0$

Passaggio 5.9.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 12}{x - 2}$

Passaggio 5.9.5

Dividi $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ per $x - 2$ .

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Passaggio 5.9.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$12$

Passaggio 5.9.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

Passaggio 5.9.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 5.9.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 5.9.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Passaggio 5.9.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 5.9.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 5.9.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Passaggio 5.9.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{2} + 6 x$

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 5.9.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Passaggio 5.9.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Passaggio 5.9.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Passaggio 5.9.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Passaggio 5.9.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x + 12$

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Passaggio 5.9.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Passaggio 5.9.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- 2 x^{2} - 3 x - 6$

Passaggio 5.9.6

Scrivi $- 2 x^{3} + x^{2} + 12$ come insieme di fattori.

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x - 6)}{3 x^{3}}$

Passaggio 6

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 6.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2}) - 3 x - 6)}{3 x^{3}}$

Passaggio 6.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2}) - (3 x) - 6)}{3 x^{3}}$

Passaggio 6.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2}) - (3 x)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x) - 6)}{3 x^{3}}$

Passaggio 6.4

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (6))}{3 x^{3}}$

Passaggio 6.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (6)$ .

$\frac{(x - 2) (- (2 x^{2} + 3 x + 6))}{3 x^{3}}$

Passaggio 6.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.6.1

Riscrivi $- (2 x^{2} + 3 x + 6)$ come $- 1 (2 x^{2} + 3 x + 6)$ .

$\frac{(x - 2) (- 1 (2 x^{2} + 3 x + 6))}{3 x^{3}}$

Passaggio 6.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(x - 2) (2 x^{2} + 3 x + 6)}{3 x^{3}}$