Algebra Esempi

$\frac{x}{x^{2} - y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{x}{(x + y) (x - y)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

Passaggio 3

Per scrivere $\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$ .

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{x}{(x + y) (x - y)}$ per $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ per $\frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$ .

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{(x + y) ((x + y) (x - y))}{(x^{2} + y^{2}) ((x + y) (x - y))}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $(x^{2} + y^{2}) ((x + y) (x - y))$ .

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{(x + y) ((x + y) (x - y))}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (x^{2} + y^{2}) + (x + y) ((x + y) (x - y))}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.3

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x (x + y) + y (x + y)) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x \cdot x + x y + y (x + y)) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.4.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + y x + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.4.2

Somma $x y$ e $y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + x y + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.5

Espandi $(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x - y)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2} x + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2} x^{1} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2 + 1} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.6.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 (x \cdot x) y + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.4.1

Sposta $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x (y \cdot y) \cdot - 1 + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x y^{2} \cdot - 1 + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{2} y}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.7

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.6.7.1

Sposta $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - (y \cdot y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.7.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

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Passaggio 6.6.7.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - (y^{1} y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{1 + 2}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.6.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.7

Somma $- x^{2} y$ e $2 x^{2} y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + 1 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.8

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.9

Somma $- 2 x y^{2}$ e $y^{2} x$ .

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Passaggio 6.9.1

Riordina $y^{2}$ e $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} + x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.9.2

Somma $- 2 x y^{2}$ e $x y^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.10

Somma $x^{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + x y^{2} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.11

Sottrai $x y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} y + 0 - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

Passaggio 6.12

Somma $2 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} y - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$