Algebra Esempi

$1 + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica $1 + \frac{x - 1}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Dividi la frazione $\frac{x - 1}{x + 1}$ in due frazioni.

$1 + \frac{x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.1.1.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.1.1.4

Combina i termini opposti in $x + 1 + x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{x + x + 0}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Somma $x + x$ e $0$ .

$\frac{x + x}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.1.1.5

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi la frazione $\frac{x + 1}{x - 1}$ in due frazioni.

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 1.3

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sottrai $\frac{x}{x - 1}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $\frac{1}{x - 1}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 1, x - 1, x - 1, 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x + 1$ è $x + 1$ stesso.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 1$ è $x - 1$ stesso.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $x + 1, x - 1, x - 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 1) (x - 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$ per $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x (x - 1) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 x^{2} - 2 x - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{x - 1}$ nel numeratore.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Scomponi $x - 1$ da $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} - 2 x - x (x + 1) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Sposta $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - (x \cdot x) - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.9

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.9.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x - 1}$ nel numeratore.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.9.2

Scomponi $x - 1$ da $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - (x + 1) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - x - 1 \cdot 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 2 x - x - x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x - x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.2.3

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - x + x - 1)$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} + 0 - 1)$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - 1)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $0$ per $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.3

Somma $16$ e $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 4.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Forma decimale:

$x = 4.23606797 \dots, - 0.23606797 \dots$