Algebra Esempi

$f (x) < | 4 x + 1 | - 3$

Passaggio 1

Sottrai $f (x)$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$0 < | 4 x + 1 | - 3 - f (x)$

Passaggio 2

Trova il coefficiente angolare e l'intercetta di y della retta di confine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi in forma esplicita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi in modo che $x$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$| 4 x + 1 | - 3 - f (x) > 0$

Passaggio 2.1.3

Scrivi $| 4 x + 1 | - 3 - f (x) > 0$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$4 x + 1 \geq 0$

Passaggio 2.1.3.2

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x \geq - 1$

Passaggio 2.1.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \geq - 1$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.1.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.1.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.1.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.1.3.3

Nella parte in cui $4 x + 1$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$4 x + 1 - 3 - f (x) > 0$

Passaggio 2.1.3.4

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$4 x + 1 < 0$

Passaggio 2.1.3.5

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x < - 1$

Passaggio 2.1.3.5.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x < - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x < - 1$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.1.3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.1.3.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.1.3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x < - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.1.3.6

Nella parte in cui $4 x + 1$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0$

Passaggio 2.1.3.7

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} 4 x + 1 - 3 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Passaggio 2.1.3.8

Sottrai $3$ da $1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Passaggio 2.1.3.9

Semplifica $- (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.9.1.1

Applica la proprietà distributiva.

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - (4 x) - 1 \cdot 1 - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Passaggio 2.1.3.9.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - 4 x - 1 \cdot 1 - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Passaggio 2.1.3.9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - 4 x - 1 - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Passaggio 2.1.3.9.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - 4 x - 4 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Passaggio 2.1.4

Risolvi $4 x - 2 - f (x) > 0$ dove $x \geq - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Risolvi $4 x - 2 - f (x) > 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.1.1

Aggiungi $2$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x - f (x) > 2$

Passaggio 2.1.4.1.1.2

Aggiungi $f (x)$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x > 2 + f (x)$

Passaggio 2.1.4.1.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x > 2 + f (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x > 2 + f (x)$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{2}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Passaggio 2.1.4.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} > \frac{2}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Passaggio 2.1.4.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{2}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Passaggio 2.1.4.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x > \frac{2 (1)}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Passaggio 2.1.4.1.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x > \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{f (x)}{4}$

Passaggio 2.1.4.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x > \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{f (x)}{4}$

Passaggio 2.1.4.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x > \frac{1}{2} + \frac{f (x)}{4}$

Passaggio 2.1.4.2

Trova l'intersezione di $x > \frac{1}{2} + \frac{f (x)}{4}$ e $x \geq - \frac{1}{4}$ .

$x > \frac{1}{2} + \frac{f (x)}{4}$ e $x \geq - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.1.5

Risolvi $- 4 x - 4 - f (x) > 0$ dove $x < - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Risolvi $- 4 x - 4 - f (x) > 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1.1

Aggiungi $4$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 4 x - f (x) > 4$

Passaggio 2.1.5.1.1.2

Aggiungi $f (x)$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 4 x > 4 + f (x)$

Passaggio 2.1.5.1.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x > 4 + f (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x > 4 + f (x)$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{4}{- 4} + \frac{f (x)}{- 4}$

Passaggio 2.1.5.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{4}{- 4} + \frac{f (x)}{- 4}$

Passaggio 2.1.5.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{4}{- 4} + \frac{f (x)}{- 4}$

Passaggio 2.1.5.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.3.1.1

Dividi $4$ per $- 4$ .

$x < - 1 + \frac{f (x)}{- 4}$

Passaggio 2.1.5.1.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x < - 1 - \frac{f (x)}{4}$

Passaggio 2.1.5.2

Trova l'intersezione di $x < - 1 - \frac{f (x)}{4}$ e $x < - \frac{1}{4}$ .

$x < N o (Min i m u m)$

Passaggio 2.1.6

Trova l'unione delle soluzioni.

$x > N o Max i m u m$ o $x < N o Min i m u m$

Passaggio 2.2

L'equazione non è lineare, quindi non esiste un coefficiente angolare costante.

Non è lineare

Passaggio 3

Rappresenta graficamente una retta tratteggiata, poi ombreggia l'area sotto la retta di confine poiché $y$ è inferiore a $| 4 x + 1 | - 3 - f (x)$ .

$0 < | 4 x + 1 | - 3 - f (x)$

Passaggio 4