Algebra Esempi

$\log_{x - 3} (36) > 2$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log_{x - 3} (36) = 2$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\log_{x - 3} (36) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

${(x - 3)}^{2} = 36$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x - 3 = \pm \sqrt{36}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{36}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x - 3 = \pm \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x - 3 = \pm 6$

Passaggio 2.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x - 3 = 6$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6 + 3$

Passaggio 2.2.3.2.2

Somma $6$ e $3$ .

$x = 9$

Passaggio 2.2.3.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x - 3 = - 6$

Passaggio 2.2.3.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.3.4.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6 + 3$

Passaggio 2.2.3.4.2

Somma $- 6$ e $3$ .

$x = - 3$

Passaggio 2.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 9, - 3$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log_{x - 3} (36) - 2$ .

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Passaggio 3.1

Imposta la base in $\log_{x - 3} (36)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - 3 > 0$

Passaggio 3.2

Aggiungi $3$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x > 3$

Passaggio 3.3

Imposta la base in $\log_{x - 3} (36)$ in modo che sia uguale a $1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - 3 = 1$

Passaggio 3.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1 + 3$

Passaggio 3.4.2

Somma $1$ e $3$ .

$x = 4$

Passaggio 3.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(3, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 9$

$x > 9$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{(- 6) - 3} (36) > 2$

Passaggio 5.1.3

Il logaritmo di un numero negativo è indefinito.

Indefinito

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{(0) - 3} (36) > 2$

Passaggio 5.2.3

Il logaritmo di un numero negativo è indefinito.

Indefinito

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3.5$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $3.5$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{(3.5) - 3} (36) > 2$

Passaggio 5.3.3

Il lato sinistro di $- 5.169925$ non è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.4

Testa un valore sull'intervallo $4 < x < 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $4 < x < 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 5.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{(6) - 3} (36) > 2$

Passaggio 5.4.3

Il lato sinistro di $3.2618595$ è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 12$

Passaggio 5.5.2

Sostituisci $x$ con $12$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{(12) - 3} (36) > 2$

Passaggio 5.5.3

Il lato sinistro di $1.63092975$ non è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Undefined

$- 3 < x < 3$ Undefined

$3 < x < 4$ Falso

$4 < x < 9$ Vero

$x > 9$ Falso

Indefinito

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$4 < x < 9$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$4 < x < 9$

Notazione degli intervalli:

$(4, 9)$

Passaggio 8