Algebra Esempi

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ come un'equazione.

$y = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $- \frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.4

Elimina il fattore comune.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica.

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 3.4.2.3.2

Combina.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Passaggio 3.4.2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.3.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Passaggio 3.4.2.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.4.3

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ è l'inverso di $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$

Passaggio 5.3.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{3}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{3} \geq 0$

Passaggio 5.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.3.3.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x \geq 0$

Passaggio 5.3.4

Imposta il denominatore in $\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt{x^{3}} = 0$

Passaggio 5.3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.5.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.5.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$9 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.5.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.5.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.5.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$9 x^{3} = 0^{2}$

Passaggio 5.3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$9 x^{3} = 0$

Passaggio 5.3.5.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{3} = 0$ .

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 5.3.5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 5.3.5.3.1.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{9}$

Passaggio 5.3.5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1.3.1

Dividi $0$ per $9$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 5.3.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.3.5.3.3

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.3.5.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 5.3.6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(0, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.4.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$

Passaggio 5.4.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}} = 0$

Passaggio 5.4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}$ come ${(3 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.1

Semplifica ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 5.4.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 5.4.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(3 x)}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 5.4.3.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $3 x$ .

$3^{2} x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 5.4.3.2.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$9 x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 5.4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$9 x^{2} = 0$

Passaggio 5.4.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{2} = 0$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 5.4.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Passaggio 5.4.3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{9}$

Passaggio 5.4.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $9$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.3.3.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.4.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ è l'intervallo di $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ è il dominio di $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ è l'inverso di $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6