Algebra Esempi

$7 y + \frac{4}{y} + 2 = - \frac{4}{3}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, y, 1, 3$

Passaggio 1.2

Poiché $1, y, 1, 3$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 1, 3$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}$ .

Passaggio 1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.5

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 1.6

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 3$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 1.7

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 1.9

Il minimo comune multiplo di $1, y, 1, 3$ è la parte numerica $3$ moltiplicata per la parte variabile.

$3 y$

Passaggio 2

Moltiplica per $3 y$ ciascun termine in $7 y + \frac{4}{y} + 2 = - \frac{4}{3}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $7 y + \frac{4}{y} + 2 = - \frac{4}{3}$ per $3 y$ .

$7 y (3 y) + \frac{4}{y} (3 y) + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$7 \cdot 3 y \cdot y + \frac{4}{y} (3 y) + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Sposta $y$ .

$7 \cdot 3 (y \cdot y) + \frac{4}{y} (3 y) + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$7 \cdot 3 y^{2} + \frac{4}{y} (3 y) + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $7$ per $3$ .

$21 y^{2} + \frac{4}{y} (3 y) + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$21 y^{2} + 3 \frac{4}{y} y + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.2.1.5

Moltiplica $3 \frac{4}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

$3$ e $\frac{4}{y}$ .

$21 y^{2} + \frac{3 \cdot 4}{y} y + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.2.1.5.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$21 y^{2} + \frac{12}{y} y + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$21 y^{2} + \frac{12}{y} y + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$21 y^{2} + 12 + 2 (3 y) = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.2.1.7

Moltiplica $3$ per $2$ .

$21 y^{2} + 12 + 6 y = - \frac{4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{3}$ nel numeratore.

$21 y^{2} + 12 + 6 y = \frac{- 4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.3.1.2

Scomponi $3$ da $3 y$ .

$21 y^{2} + 12 + 6 y = \frac{- 4}{3} (3 (y))$

Passaggio 2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$21 y^{2} + 12 + 6 y = \frac{- 4}{3} (3 y)$

Passaggio 2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$21 y^{2} + 12 + 6 y = - 4 y$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Somma $4 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$21 y^{2} + 12 + 6 y + 4 y = 0$

Passaggio 3.1.2

Somma $6 y$ e $4 y$ .

$21 y^{2} + 12 + 10 y = 0$

Passaggio 3.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3

Sostituisci i valori $a = 21$ , $b = 10$ e $c = 12$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (21 \cdot 12)}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 21 \cdot 12}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 21 \cdot 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $21$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84 \cdot 12}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Moltiplica $- 84$ per $12$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 1008}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.1.3

Sottrai $1008$ da $100$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 908}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.1.4

Riscrivi $- 908$ come $- 1 (908)$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 908}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (908)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{908}$ .

$y = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{908}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$y = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{908}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.1.7

Riscrivi $908$ come $2^{2} \cdot 227$ .

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Passaggio 3.4.1.7.1

Scomponi $4$ da $908$ .

$y = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4 (227)}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 227}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 10 \pm i \cdot (2 \sqrt{227})}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$y = \frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{227}}{2 \cdot 21}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $21$ .

$y = \frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{227}}{42}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica $\frac{- 10 \pm 2 i \sqrt{227}}{42}$ .

$y = \frac{- 5 \pm i \sqrt{227}}{21}$

Passaggio 3.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{5 - i \sqrt{227}}{21}, - \frac{5 + i \sqrt{227}}{21}$