Algebra Esempi

$\sqrt[3]{x + 1} = 2 x + 2$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x + 1}}^{3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x + 2)}^{3}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x + 1)}^{1} = {(2 x + 2)}^{3}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$x + 1 = {(2 x + 2)}^{3}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(2 x + 2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Usa il teorema binomiale.

$x + 1 = {(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$x + 1 = 2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot 2 + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.4

Moltiplica $2^{2}$ per $2$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.4.1

Sposta $2$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2 \cdot 2^{2} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.4.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{1} \cdot 2^{2} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{1 + 2} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{3} x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.5

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 3 (8 x^{2}) + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.6

Moltiplica $8$ per $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2 x) \cdot 2^{2} + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.7

Moltiplica $2$ per $2^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.7.1

Sposta $2^{2}$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{2} \cdot 2 x) + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.7.2

Moltiplica $2^{2}$ per $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.7.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{2} \cdot 2^{1} x) + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{2 + 1} x) + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (2^{3} x) + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.8

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 3 (8 x) + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.9

Moltiplica $8$ per $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 2^{3}$

Passaggio 2.3.1.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x + 1 = 8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8 = x + 1$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8 - x = 1$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $x$ da $24 x$ .

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 8 = 1$

Passaggio 3.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 8 - 1 = 0$

Passaggio 3.4

Sottrai $1$ da $8$ .

$8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 3.5.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 3.5.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 7, \pm 0.875, \pm 3.5, \pm 1.75$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 3.5.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 7$

Passaggio 3.5.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$8 \cdot - 1 + 24 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 7$

Passaggio 3.5.3.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- 8 + 24 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 7$

Passaggio 3.5.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 + 23 \cdot - 1 + 7$

Passaggio 3.5.3.5

Moltiplica $24$ per $1$ .

$- 8 + 24 + 23 \cdot - 1 + 7$

Passaggio 3.5.3.6

Somma $- 8$ e $24$ .

$16 + 23 \cdot - 1 + 7$

Passaggio 3.5.3.7

Moltiplica $23$ per $- 1$ .

$16 - 23 + 7$

Passaggio 3.5.3.8

Sottrai $23$ da $16$ .

$- 7 + 7$

Passaggio 3.5.3.9

Somma $- 7$ e $7$ .

$0$

Passaggio 3.5.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7}{x + 1}$

Passaggio 3.5.5

Dividi $8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7$ per $x + 1$ .

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Passaggio 3.5.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$23 x$

$7$

Passaggio 3.5.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$8 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$

Passaggio 3.5.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			+	$8 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Passaggio 3.5.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 x^{3} + 8 x^{2}$

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Passaggio 3.5.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$

Passaggio 3.5.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$8 x^{2}$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$

Passaggio 3.5.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$

Passaggio 3.5.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$16 x^{2}$	+	$16 x$

Passaggio 3.5.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 x^{2} + 16 x$

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 3.5.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$

Passaggio 3.5.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$

Passaggio 3.5.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$

Passaggio 3.5.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$
							+	$7 x$	+	$7$

Passaggio 3.5.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x + 7$

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$
							-	$7 x$	-	$7$

Passaggio 3.5.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$8 x^{2}$	+	$16 x$	+	$7$
$x$	+	$1$		$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$23 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$16 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$16 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$7 x$	+	$7$
							-	$7 x$	-	$7$
										$0$

Passaggio 3.5.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$8 x^{2} + 16 x + 7$

Passaggio 3.5.6

Scrivi $8 x^{3} + 24 x^{2} + 23 x + 7$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (8 x^{2} + 16 x + 7) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$8 x^{2} + 16 x + 7 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.8

Imposta $8 x^{2} + 16 x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Imposta $8 x^{2} + 16 x + 7$ uguale a $0$ .

$8 x^{2} + 16 x + 7 = 0$

Passaggio 3.8.2

Risolvi $8 x^{2} + 16 x + 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.8.2.2

Sostituisci i valori $a = 8$ , $b = 16$ e $c = 7$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 7)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.1.1

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 8 \cdot 7}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.8.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 8 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 32 \cdot 7}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.8.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 32$ per $7$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.8.2.3.1.3

Sottrai $224$ da $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.8.2.3.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.3.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.8.2.3.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.8.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 3.8.2.3.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$x = \frac{- 16 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 3.8.2.3.3

Semplifica $\frac{- 16 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.8.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{4 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{4 + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (8 x^{2} + 16 x + 7) = 0$ vera.

$x = - 1, - \frac{4 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{4 + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 1, - \frac{4 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{4 + \sqrt{2}}{4}$

Forma decimale:

$x = - 1, - 0.64644660 \dots, - 1.35355339 \dots$