Algebra Esempi

$6 x {(3 x - 1)}^{2} + 2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$

Passaggio 1

Scomponi $2 x$ da $6 x {(3 x - 1)}^{2} + 2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $2 x$ da $6 x {(3 x - 1)}^{2}$ .

$2 x (3 {(3 x - 1)}^{2}) + 2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$

Passaggio 1.2

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2} {(1 - 3 x)}^{2}$ .

$2 x (3 {(3 x - 1)}^{2}) + 2 x (x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (3 {(3 x - 1)}^{2}) + 2 x (x {(1 - 3 x)}^{2})$ .

$2 x (3 {(3 x - 1)}^{2} + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 2

Riscrivi ${(3 x - 1)}^{2}$ come $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$2 x (3 ((3 x - 1) (3 x - 1)) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 3

Espandi $(3 x - 1) (3 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (3 (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (3 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (3 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x (3 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Sposta $x$ .

$2 x (3 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x (3 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$2 x (3 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 4.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$2 x (3 (9 x^{2} - 6 x + 1) + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 5

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 1 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$2 x (27 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 1 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 1 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x {(1 - 3 x)}^{2})$

Passaggio 7

Riscrivi ${(1 - 3 x)}^{2}$ come $(1 - 3 x) (1 - 3 x)$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x ((1 - 3 x) (1 - 3 x)))$

Passaggio 8

Espandi $(1 - 3 x) (1 - 3 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 (1 - 3 x) - 3 x (1 - 3 x)))$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 \cdot 1 + 1 (- 3 x) - 3 x (1 - 3 x)))$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 \cdot 1 + 1 (- 3 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 3 x)))$

Passaggio 9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 + 1 (- 3 x) - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 3 x)))$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 3 x$ per $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x \cdot 1 - 3 x (- 3 x)))$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 x (- 3 x)))$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 \cdot - 3 x \cdot x))$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Sposta $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 \cdot - 3 (x \cdot x)))$

Passaggio 9.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x - 3 \cdot - 3 x^{2}))$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 3 x - 3 x + 9 x^{2}))$

Passaggio 9.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x (1 - 6 x + 9 x^{2}))$

Passaggio 10

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x \cdot 1 + x (- 6 x) + x (9 x^{2}))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x + x (- 6 x) + x (9 x^{2}))$

Passaggio 11.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x \cdot x + x (9 x^{2}))$

Passaggio 11.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x \cdot x + 9 x \cdot x^{2})$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 (x \cdot x) + 9 x \cdot x^{2})$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 x \cdot x^{2})$

Passaggio 12.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 (x^{2} x))$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 (x^{2} x^{1}))$

Passaggio 12.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 x^{2 + 1})$

Passaggio 12.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 x (27 x^{2} - 18 x + 3 + x - 6 x^{2} + 9 x^{3})$

Passaggio 13

Sottrai $6 x^{2}$ da $27 x^{2}$ .

$2 x (21 x^{2} - 18 x + 3 + x + 9 x^{3})$

Passaggio 14

Somma $- 18 x$ e $x$ .

$2 x (21 x^{2} - 17 x + 3 + 9 x^{3})$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$2 x (9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3)$

Passaggio 16

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Riscrivi $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Scomponi $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Passaggio 16.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 3$

Passaggio 16.1.1.3

Sostituisci $0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1.3.1

Sostituisci $0.\overline{3}$ nel polinomio.

$9 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 21 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 16.1.1.3.2

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$9 \cdot 0.\overline{037} + 21 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 16.1.1.3.3

Moltiplica $9$ per $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{3} + 21 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 16.1.1.3.4

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$0.\overline{3} + 21 \cdot 0.\overline{1} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 16.1.1.3.5

Moltiplica $21$ per $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{3} + 2.\overline{3} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 16.1.1.3.6

Somma $0.\overline{3}$ e $2.\overline{3}$ .

$2.\overline{6} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 3$

Passaggio 16.1.1.3.7

Moltiplica $- 17$ per $0.\overline{3}$ .

$2.\overline{6} - 5.\overline{6} + 3$

Passaggio 16.1.1.3.8

Sottrai $5.\overline{6}$ da $2.\overline{6}$ .

$- 3 + 3$

Passaggio 16.1.1.3.9

Somma $- 3$ e $3$ .

$0$

Passaggio 16.1.1.4

Poiché $0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3}{3 x - 1}$

Passaggio 16.1.1.5

Dividi $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ per $3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$21 x^{2}$

$17 x$

$3$

Passaggio 16.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$

Passaggio 16.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			+	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 16.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{3} - 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 16.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$

Passaggio 16.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$

Passaggio 16.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $24 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$

Passaggio 16.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$24 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 16.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $24 x^{2} - 8 x$

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 16.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$

Passaggio 16.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$

Passaggio 16.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 9 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$

Passaggio 16.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$
							-	$9 x$	+	$3$

Passaggio 16.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 9 x + 3$

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$
							+	$9 x$	-	$3$

Passaggio 16.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$3$
$3 x$	-	$1$		$9 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	-	$17 x$	+	$3$
			-	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$24 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$9 x$	+	$3$
							+	$9 x$	-	$3$
										$0$

Passaggio 16.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 x^{2} + 8 x - 3$

Passaggio 16.1.1.6

Scrivi $9 x^{3} + 21 x^{2} - 17 x + 3$ come insieme di fattori.

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} + 8 x - 3))$

Passaggio 16.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ e la cui somma è $b = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1.1.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} + 8 (x) - 3))$

Passaggio 16.1.2.1.1.2

Riscrivi $8$ come $- 1$ più $9$ .

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 9) x - 3))$

Passaggio 16.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x ((3 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 9 x - 3))$

Passaggio 16.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 x ((3 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 9 x - 3))$

Passaggio 16.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 x ((3 x - 1) (x (3 x - 1) + 3 (3 x - 1)))$

Passaggio 16.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$2 x ((3 x - 1) ((3 x - 1) (x + 3)))$

Passaggio 16.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x ((3 x - 1) (3 x - 1) (x + 3))$

Passaggio 16.1.3

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.3.1

Eleva $3 x - 1$ alla potenza di $1$ .

$2 x ({(3 x - 1)}^{1} (3 x - 1) (x + 3))$

Passaggio 16.1.3.2

Eleva $3 x - 1$ alla potenza di $1$ .

$2 x ({(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{1} (x + 3))$

Passaggio 16.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x ({(3 x - 1)}^{1 + 1} (x + 3))$

Passaggio 16.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x ({(3 x - 1)}^{2} (x + 3))$

Passaggio 16.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x {(3 x - 1)}^{2} (x + 3)$