Algebra Esempi

${(\frac{2}{3})}^{5 x + 2} = {(\frac{3}{2})}^{2 x}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo dell'equazione assegnata.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Passaggio 2

Espandi $\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2})$ spostando $5 x + 2$ fuori dal logaritmo.

$(5 x + 2) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (\frac{2}{3})$ come $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Passaggio 4

Espandi $\ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$ spostando $2 x$ fuori dal logaritmo.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 5

Riscrivi $\ln (\frac{3}{2})$ come $\ln (3) - \ln (2)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 6.1

Semplifica $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Passaggio 6.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 6.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 6.1.3

Espandi $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x (\ln (2) - \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 6.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 6.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 6.1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x \ln (2) + 5 \cdot - 1 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 6.1.4.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 6.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Passaggio 6.2

Semplifica $2 x (\ln (3) - \ln (2))$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 x (- \ln (2))$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 \cdot - 1 x \ln (2)$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) - 2 x \ln (2)$

Passaggio 6.3

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 6.3.1

Sottrai $2 x \ln (3)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) = - 2 x \ln (2)$

Passaggio 6.3.2

Somma $2 x \ln (2)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 2 x \ln (2) = 0$

Passaggio 6.3.3

Somma $5 x \ln (2)$ e $2 x \ln (2)$ .

$- 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Passaggio 6.3.4

Sottrai $2 x \ln (3)$ da $- 5 x \ln (3)$ .

$2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Passaggio 6.4

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 6.4.1

Sottrai $2 \ln (2)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2)$

Passaggio 6.4.2

Somma $2 \ln (3)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Passaggio 6.5

Scomponi $7 x$ da $- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2)$ .

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Passaggio 6.5.1

Scomponi $7 x$ da $- 7 x \ln (3)$ .

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $7 x$ da $7 x \ln (2)$ .

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Passaggio 6.5.3

Scomponi $7 x$ da $7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2)$ .

$7 x (- 1 \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Passaggio 6.6

Riscrivi $- 1 \ln (3)$ come $- \ln (3)$ .

$7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Passaggio 6.7

Dividi per $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ ciascun termine in $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ e semplifica.

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Passaggio 6.7.1

Dividi per $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ ciascun termine in $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ .

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Passaggio 6.7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.7.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

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Passaggio 6.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Passaggio 6.7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Passaggio 6.7.2.2

Elimina il fattore comune di $- \ln (3) + \ln (2)$ .

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Passaggio 6.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Passaggio 6.7.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Passaggio 6.7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Forma decimale:

$x = - 0.\overline{285714}$