Algebra Esempi

$f (b) = (b + 6) (b - 2)$

Passaggio 1

Scrivi $f (b) = (b + 6) (b - 2)$ come un'equazione.

$y = (b + 6) (b - 2)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$b = (y + 6) (y - 2)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $(y + 6) (y - 2) = b$ .

$(y + 6) (y - 2) = b$

Passaggio 3.2

Semplifica $(y + 6) (y - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Espandi $(y + 6) (y - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (y - 2) + 6 (y - 2) = b$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y \cdot y + y \cdot - 2 + 6 (y - 2) = b$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y \cdot y + y \cdot - 2 + 6 y + 6 \cdot - 2 = b$

Passaggio 3.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 2 + 6 y + 6 \cdot - 2 = b$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $y$ .

$y^{2} - 2 \cdot y + 6 y + 6 \cdot - 2 = b$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$y^{2} - 2 y + 6 y - 12 = b$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $- 2 y$ e $6 y$ .

$y^{2} + 4 y - 12 = b$

Passaggio 3.3

Sottrai $b$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 4 y - 12 - b = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - 12 - b$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 12 - b))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 12 - b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 12 - b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 12 - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48 - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48 + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.6

Somma $16$ e $48$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{64 + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7

Scomponi $4$ da $64 + 4 b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.7.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 16 + 4 b$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (16 + b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.8

Riscrivi $4 (16 + b)$ come $2^{2} (4^{2} + b)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (16 + b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.8.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4^{2} + b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.10

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{16 + b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{16 + b}}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{16 + b}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{16 + b}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 12 - b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 12 - b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 12 - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48 - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48 + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6

Somma $16$ e $48$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{64 + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7

Scomponi $4$ da $64 + 4 b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.7.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 16 + 4 b$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (16 + b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.8

Riscrivi $4 (16 + b)$ come $2^{2} (4^{2} + b)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (16 + b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.8.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4^{2} + b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.10

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{16 + b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{16 + b}}{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{16 + b}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{16 + b}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = - 2 + \sqrt{16 + b}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 12 - b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 12 - b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 12 - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48 - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48 + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.6

Somma $16$ e $48$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{64 + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.7

Scomponi $4$ da $64 + 4 b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.7.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.7.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 16 + 4 b$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (16 + b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.8

Riscrivi $4 (16 + b)$ come $2^{2} (4^{2} + b)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (16 + b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.8.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + b)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{4^{2} + b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.10

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{16 + b}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{16 + b}}{2}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{16 + b}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{16 + b}$

Passaggio 3.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = - 2 - \sqrt{16 + b}$

Passaggio 3.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - 2 + \sqrt{16 + b}$

$y = - 2 - \sqrt{16 + b}$

$y = - 2 + \sqrt{16 + b}$

$y = - 2 - \sqrt{16 + b}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (b)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (b) = - 2 + \sqrt{16 + b}, - 2 - \sqrt{16 + b}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (b) = - 2 + \sqrt{16 + b}, - 2 - \sqrt{16 + b}$ è l'inverso di $f (b) = (b + 6) (b - 2)$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (b) = (b + 6) (b - 2)$ e $f^{- 1} (b) = - 2 + \sqrt{16 + b}, - 2 - \sqrt{16 + b}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (b) = (b + 6) (b - 2)$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 16, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $- 2 + \sqrt{16 + b}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{16 + b}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$16 + b \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $16$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$b \geq - 16$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $b$ che rendono definita l'espressione.

$[- 16, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (b) = (b + 6) (b - 2)$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (b) = - 2 + \sqrt{16 + b}, - 2 - \sqrt{16 + b}$ è l'intervallo di $f (b) = (b + 6) (b - 2)$ e l'intervallo di $f^{- 1} (b) = - 2 + \sqrt{16 + b}, - 2 - \sqrt{16 + b}$ è il dominio di $f (b) = (b + 6) (b - 2)$ , allora $f^{- 1} (b) = - 2 + \sqrt{16 + b}, - 2 - \sqrt{16 + b}$ è l'inverso di $f (b) = (b + 6) (b - 2)$ .

$f^{- 1} (b) = - 2 + \sqrt{16 + b}, - 2 - \sqrt{16 + b}$

Passaggio 6