Algebra Esempi

${(\frac{49}{81})}^{x + 1} \geq \frac{9}{7}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Espandi $\ln ({(\frac{49}{81})}^{x + 1})$ spostando $x + 1$ fuori dal logaritmo.

$(x + 1) \ln (\frac{49}{81}) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\ln (\frac{49}{81})$ come $\ln (49) - \ln (81)$ .

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (81)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\ln (81)$ come $\ln (3^{4})$ .

$(x + 1) (\ln (49) - \ln (3^{4})) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 2.4

Espandi $\ln (3^{4})$ spostando $4$ fuori dal logaritmo.

$(x + 1) (\ln (49) - (4 \ln (3))) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 2.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ .

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Passaggio 3.1.1

Espandi $(x + 1) (\ln (49) - 4 \ln (3))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 (\ln (49) - 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + 1 \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Moltiplica $\ln (49)$ per $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) + 1 (- 4 \ln (3)) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- 4 \ln (3)$ per $1$ .

$x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 3.1.2.2

Riordina i fattori in $x \ln (49) + x (- 4 \ln (3)) + \ln (49) - 4 \ln (3)$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) \geq \ln (\frac{9}{7})$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49) - 4 \ln (3) - \ln (\frac{9}{7}) = 0$

Passaggio 5

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49}{\frac{9}{7}}) - 4 \ln (3) = 0$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (49 (\frac{7}{9})) - 4 \ln (3) = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $49 (\frac{7}{9})$ .

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Passaggio 6.2.1

$49$ e $\frac{7}{9}$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{49 \cdot 7}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $49$ per $7$ .

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) + \ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3) = 0$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Sottrai $\ln (\frac{343}{9})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) - 4 \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9})$

Passaggio 7.2

Somma $4 \ln (3)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (49) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Passaggio 8

Scomponi $x$ da $x \ln (49) - 4 x \ln (3)$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi $x$ da $x \ln (49)$ .

$x (\ln (49)) - 4 x \ln (3) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Passaggio 8.2

Scomponi $x$ da $- 4 x \ln (3)$ .

$x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Passaggio 8.3

Scomponi $x$ da $x (\ln (49)) + x (- 4 \ln (3))$ .

$x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$

Passaggio 9

Dividi per $\ln (49) - 4 \ln (3)$ ciascun termine in $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ e semplifica.

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Passaggio 9.1

Dividi per $\ln (49) - 4 \ln (3)$ ciascun termine in $x (\ln (49) - 4 \ln (3)) = - \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (49) - 4 \ln (3)$ .

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Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\ln (49) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9})}{\ln (49) - 4 \ln (3)} + \frac{4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Passaggio 9.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (\frac{343}{9})$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) + 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Passaggio 9.3.3

Scomponi $- 1$ da $4 \ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Passaggio 9.3.4

Scomponi $- 1$ da $- \ln (\frac{343}{9}) - (- 4 \ln (3))$ .

$x = \frac{- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Passaggio 9.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.3.5.1

Riscrivi $- (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ come $- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3))}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Passaggio 9.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x \leq - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{\ln (\frac{343}{9}) - 4 \ln (3)}{\ln (49) - 4 \ln (3)}]$

Passaggio 12