Algebra Esempi

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = a$

$b = b$

$k = k$

$h = h$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(h, k)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(a)}^{2} + {(b)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(h + a, k)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(h + a, k), (h - a, k)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(h + \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(h - \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(h + \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k), (h - \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(a)}^{2} + {(b)}^{2}}}{a}$

Passaggio 8.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Moltiplica $\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.3.2.2

Eleva $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{1} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.3.2.3

Eleva $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{1} {\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{1}}$

Passaggio 9.3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{2}}$

Passaggio 9.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{a^{2} + b^{2}}}^{2}$ come $a^{2} + b^{2}$ .

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Passaggio 9.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ come ${(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{{(a^{2} + b^{2})}^{1}}$

Passaggio 9.3.2.6.5

Semplifica.

$\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{b}{a} \cdot (x - (h)) + k$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $h$ .

$y = \frac{b}{a} \cdot (x - h) + k$

Passaggio 11.2

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{b}{a} \cdot (x - (h)) + k$

Passaggio 11.3

Semplifica $\frac{b}{a} \cdot (x - (h)) + k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Moltiplica $\frac{b}{a}$ per $x - h$ .

$y = \frac{b (x - h)}{a} + k$

Passaggio 11.3.2

Per scrivere $k$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{a}{a}$ .

$y = \frac{b (x - h)}{a} + \frac{k a}{a}$

Passaggio 11.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{b (x - h) + k a}{a}$

Passaggio 11.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{b x + b (- h) + k a}{a}$

Passaggio 11.3.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{b x - b h + k a}{a}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $h$ .

$y = - \frac{b}{a} \cdot (x - h) + k$

Passaggio 12.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{b}{a} \cdot (x - (h)) + k$

Passaggio 12.3

Semplifica $- \frac{b}{a} \cdot (x - (h)) + k$ .

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Passaggio 12.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{b}{a} x - \frac{b}{a} (- h) + k$

Passaggio 12.3.1.2

$x$ e $\frac{b}{a}$ .

$y = - \frac{x b}{a} - \frac{b}{a} (- h) + k$

Passaggio 12.3.1.3

Moltiplica $- \frac{b}{a} (- h)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x b}{a} + 1 \frac{b}{a} h + k$

Passaggio 12.3.1.3.2

Moltiplica $\frac{b}{a}$ per $1$ .

$y = - \frac{x b}{a} + \frac{b}{a} h + k$

Passaggio 12.3.1.3.3

$\frac{b}{a}$ e $h$ .

$y = - \frac{x b}{a} + \frac{b h}{a} + k$

Passaggio 12.3.2

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Riordina $x$ e $b$ .

$y = - \frac{b x}{a} + \frac{b h}{a} + k$

Passaggio 12.3.2.2

Riordina $- \frac{b x}{a}$ e $\frac{b h}{a}$ .

$y = \frac{b h}{a} - \frac{b x}{a} + k$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{b x - b h + k a}{a}, y = \frac{b h}{a} - \frac{b x}{a} + k$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(h, k)$

Vertici: $(h + a, k), (h - a, k)$

Fuochi: $(h + \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k), (h - \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Asse focale: $\frac{b^{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a^{2} + b^{2}}$

Asintoti: $y = \frac{b x - b h + k a}{a}$ , $y = \frac{b h}{a} - \frac{b x}{a} + k$

Passaggio 15