Trigonometri Contoh

$3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y - 11 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $11$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $3 x^{2} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 3$

$b = 6$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (3)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{3}{3}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{3}{3}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = 1$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $36$ dengan $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$e = 0 - 3$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$e = - 3$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3$

Langkah 1.3

Substitusikan $3 {(x + 1)}^{2} - 3$ untuk $3 x^{2} + 6 x$ dalam persamaan $3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 + y^{2} - 8 y = 11$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 3$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $3$ ke kedua sisinya.

$3 {(x + 1)}^{2} + y^{2} - 8 y = 11 + 3$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $y^{2} - 8 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 4}{1}$

Langkah 1.5.3.2.2.4

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$d = - 4$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $64$ dengan $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$e = 0 - 16$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$e = - 16$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Langkah 1.6

Substitusikan ${(y - 4)}^{2} - 16$ untuk $y^{2} - 8 y$ dalam persamaan $3 x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y = 11$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = 11 + 3$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 16$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $16$ ke kedua sisinya.

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 11 + 3 + 16$

Langkah 1.8

Sederhanakan $11 + 3 + 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $11$ dan $3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 14 + 16$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $14$ dan $16$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 30$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $30$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{30} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{30} = \frac{30}{30}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{10} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{30} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = \sqrt{30}$

$b = \sqrt{10}$

$k = 4$

$h = - 1$

Langkah 4

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(\sqrt{30})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{30}}^{2}$ sebagai $30$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{30}$ sebagai $30^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Langkah 4.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{30^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Langkah 4.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Langkah 4.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Langkah 4.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{30^{1} - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Langkah 4.3.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{30 - {(\sqrt{10})}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{10}}^{2}$ sebagai $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{10}$ sebagai $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{30 - {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{30 - 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{30 - 10^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{30 - 10^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{30 - 10^{1}}$

Langkah 4.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{30 - 1 \cdot 10}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$\sqrt{30 - 10}$

Langkah 4.3.3.2

Kurangi $10$ dengan $30$ .

$\sqrt{20}$

Langkah 4.3.4

Tulis kembali $20$ sebagai $2^{2} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Langkah 4.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$2 \sqrt{5}$

Langkah 5

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

Langkah 5.3

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 5.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(- 1, 4 - (2 \sqrt{5}))$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

Langkah 5.6

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, 4 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 4 - 2 \sqrt{5})$

Langkah 6