Trigonometri Contoh

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $18$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $9 x^{2} - 36 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 18}{9}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 18$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 2}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$d = - 2$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 36$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $1296$ dengan $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $36$ .

$e = 0 - 36$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $36$ dengan $0$ .

$e = - 36$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Langkah 1.3

Substitusikan $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ untuk $9 x^{2} - 36 x$ dalam persamaan $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 36$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $36$ ke kedua sisinya.

$9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $- y^{2} - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Langkah 1.5.3.2.2

Tulis kembali $- 1 \cdot - 3$ sebagai $- - 3$ .

$d = - - 3$

Langkah 1.5.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$d = 3$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $36$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $9$ .

$e = 9$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Langkah 1.6

Substitusikan $- {(y + 3)}^{2} + 9$ untuk $- y^{2} - 6 y$ dalam persamaan $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36$

Langkah 1.7

Pindahkan $9$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $9$ ke kedua sisinya.

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9$

Langkah 1.8

Sederhanakan $- 18 + 36 - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $- 18$ dan $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9$

Langkah 1.8.2

Kurangi $9$ dengan $18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $9$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Langkah 4

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 4.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{1 + 9}$

Langkah 4.3.3

Tambahkan $1$ dan $9$ .

$\sqrt{10}$

Langkah 5

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(2 + \sqrt{10}, - 3)$

Langkah 5.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 5.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(2 - \sqrt{10}, - 3)$

Langkah 5.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(2 + \sqrt{10}, - 3), (2 - \sqrt{10}, - 3)$

Langkah 6