Trigonometri Contoh

$f (t) = \frac{2}{3} \cos (t)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ terhadap $t$ adalah $\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $- \sin (t)$ .

$\frac{2}{3} (- \sin (t))$

Langkah 1.3

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $\sin (t)$ .

$- \frac{2 \sin (t)}{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- \frac{2}{3}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- \frac{2 \sin (t)}{3}$ terhadap $t$ adalah $- \frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d t} \sin (t)$

Langkah 2.2

Turunan dari $\sin (t)$ terhadap $t$ adalah $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gabungkan $\cos (t)$ dan $\frac{2}{3}$ .

$f'' (t) = - \frac{\cos (t) \cdot 2}{3}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - \frac{2 \cos (t)}{3}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{2 \sin (t)}{3} = 0$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 \sin (t) = 0$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $2 \sin (t) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di $2 \sin (t) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.1.2.1.2

Bagilah $\sin (t)$ dengan $1$ .

$\sin (t) = \frac{0}{2}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\sin (t) = 0$

Langkah 5.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $t$ dari dalam sinus.

$t = \arcsin (0)$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$t = 0$

Langkah 5.4

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$t = π - 0$

Langkah 5.5

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$t = π$

Langkah 5.6

Penyelesaian untuk persamaan $t = 0$ .

$t = 0, π$

Langkah 6

Evaluasi turunan kedua pada $t = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{2 \cos (0)}{3}$

Langkah 7

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{3}$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Langkah 8

$t = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$t = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 9

Tentukan nilai y ketika $t = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $t$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot \cos (0)$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot 1$

Langkah 9.2.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$f (0) = \frac{2}{3}$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $t = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{2 \cos (π)}{3}$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- \frac{2 (- \cos (0))}{3}$

Langkah 11.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{2 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Langkah 11.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Langkah 11.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{- 2}{3}$

Langkah 11.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{2}{3}$

Langkah 11.3

Kalikan $- - \frac{2}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3})$

Langkah 11.3.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3}$

Langkah 12

$t = π$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$t = π$ adalah minimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $t = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $t$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- \cos (0))$

Langkah 13.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Langkah 13.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot - 1$

Langkah 13.2.4

Kalikan $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.4.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $- 1$ .

$f (π) = \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Langkah 13.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (π) = \frac{- 2}{3}$

Langkah 13.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (π) = - \frac{2}{3}$

Langkah 13.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Langkah 14

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (t) = \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ .

$(0, \frac{2}{3})$ adalah maksimum lokal

$(π, - \frac{2}{3})$ adalah minimum lokal

Langkah 15