Trigonometri Contoh

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) = \ln (x - 1) - \ln (x + 8)$

Langkah 1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $\ln (x - 1)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) = - \ln (x + 8)$

Langkah 1.2

Tambahkan $\ln (x + 8)$ ke kedua sisi persamaan.

$\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\ln (x - 2) - \ln (x + 2) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2}) - \ln (x - 1) + \ln (x + 8) = 0$

Langkah 2.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1}) + \ln (x + 8) = 0$

Langkah 2.3

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{\frac{x - 2}{x + 2}}{x - 1} (x + 8)) = 0$

Langkah 2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\ln (\frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{1}{x - 1} (x + 8)) = 0$

Langkah 2.5

Kalikan $\frac{x - 2}{x + 2}$ dengan $\frac{1}{x - 1}$ .

$\ln (\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)} (x + 8)) = 0$

Langkah 2.6

Kalikan $\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 1)}$ dengan $x + 8$ .

$\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}) = 0$

Langkah 3

Atur penyebut dalam $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$(x + 2) (x - 1) = 0$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 4.2

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 4.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 4.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 4.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) (x - 1) = 0$ benar.

$x = - 2, 1$

Langkah 5

Atur argumen dalam $\ln (\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)})$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)} \leq 0$

Langkah 6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 6.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 6.3

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 8$

Langkah 6.4

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 6.5

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 6.6

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 2$

$x = - 8$

$x = - 2$

$x = 1$

Langkah 6.7

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 2, - 8, - 2, 1$

Langkah 6.8

Tentukan domain dari $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Atur penyebut dalam $\frac{(x - 2) (x + 8)}{(x + 2) (x - 1)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$(x + 2) (x - 1) = 0$

Langkah 6.8.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 6.8.2.2

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.2.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 6.8.2.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 6.8.2.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 6.8.2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 6.8.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) (x - 1) = 0$ benar.

$x = - 2, 1$

Langkah 6.8.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6.9

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 6.10

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.1

Uji nilai pada interval $x < - 8$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 8$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 10$

Langkah 6.10.1.2

Ganti $x$ dengan $- 10$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{((- 10) - 2) ((- 10) + 8)}{((- 10) + 2) ((- 10) - 1)} \leq 0$

Langkah 6.10.1.3

Sisi kiri $0.\overline{27}$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 6.10.2

Uji nilai pada interval $- 8 < x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.2.1

Pilih nilai pada interval $- 8 < x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 5$

Langkah 6.10.2.2

Ganti $x$ dengan $- 5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{((- 5) - 2) ((- 5) + 8)}{((- 5) + 2) ((- 5) - 1)} \leq 0$

Langkah 6.10.2.3

Sisi kiri $- 1.1\overline{6}$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 6.10.3

Uji nilai pada interval $- 2 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.3.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 6.10.3.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{((0) - 2) ((0) + 8)}{((0) + 2) ((0) - 1)} \leq 0$

Langkah 6.10.3.3

Sisi kiri $8$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 6.10.4

Uji nilai pada interval $1 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.4.1

Pilih nilai pada interval $1 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1.5$

Langkah 6.10.4.2

Ganti $x$ dengan $1.5$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{((1.5) - 2) ((1.5) + 8)}{((1.5) + 2) ((1.5) - 1)} \leq 0$

Langkah 6.10.4.3

Sisi kiri $- 2.\overline{714285}$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 6.10.5

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.5.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 6.10.5.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{((4) - 2) ((4) + 8)}{((4) + 2) ((4) - 1)} \leq 0$

Langkah 6.10.5.3

Sisi kiri $1.\overline{3}$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 6.10.6

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 8$ Salah

$- 8 < x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 1$ Salah

$1 < x < 2$ Benar

$x > 2$ Salah

$x < - 8$ Salah

$- 8 < x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 1$ Salah

$1 < x < 2$ Benar

$x > 2$ Salah

Langkah 6.11

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- 8 \leq x < - 2$ atau $1 < x \leq 2$

Langkah 7

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$- 8 \leq x \leq - 2, 1 \leq x \leq 2$

$[- 8, - 2] \cup [1, 2]$

Langkah 8