Trigonometri Contoh

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Langkah 1

Kurangkan $2 \sec^{2} (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \sec^{2} (x) = 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} = 0$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.1.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} + \frac{- 2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{1 + \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $\frac{1}{1 + \sin (x)}$ dengan $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.4.2

Kalikan $\frac{1}{1 - \sin (x)}$ dengan $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} + \frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.6

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{1 - \sin (x) + 1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $- \sin (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 0 + 1}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1 + 1}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x)} = 0$

Langkah 2.8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} = 0$

Langkah 2.8.2

Pisahkan pecahan.

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) = 0$

Langkah 2.8.3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ ke $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - (\frac{2}{1} \sec^{2} (x)) = 0$

Langkah 2.8.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - (2 \sec^{2} (x)) = 0$

Langkah 2.8.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - 2 \sec^{2} (x) = 0$

Langkah 3

Atur penyebut dalam $\frac{2}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = 0$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Langkah 4.2

Atur $1 + \sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Atur $1 + \sin (x)$ sama dengan $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

Langkah 4.2.2

Selesaikan $1 + \sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sin (x) = - 1$

Langkah 4.2.2.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Langkah 4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- 1)$ adalah $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.2.4

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Langkah 4.2.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.5.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Langkah 4.2.2.5.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{3 π}{2}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 4.2.2.6

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.6.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.2.2.6.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.2.2.6.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.2.2.6.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.2.2.7

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.7.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{2}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Langkah 4.2.2.7.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.2.7.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.7.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.2.2.7.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 4.2.2.7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.7.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Langkah 4.2.2.7.4.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 4.2.2.7.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 4.2.2.8

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.3

Atur $1 - \sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Atur $1 - \sin (x)$ sama dengan $0$ .

$1 - \sin (x) = 0$

Langkah 4.3.2

Selesaikan $1 - \sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \sin (x) = - 1$

Langkah 4.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- \sin (x) = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- \sin (x) = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.2.2.2.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Langkah 4.3.2.3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (1)$

Langkah 4.3.2.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 4.3.2.5

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{2}$

Langkah 4.3.2.6

Sederhanakan $π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.3.2.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 4.3.2.6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 4.3.2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Langkah 4.3.2.6.3.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 4.3.2.7

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.3.2.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.3.2.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.3.2.7.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.3.2.8

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) = 0$ benar.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.5

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 6