Trigonometri Contoh

${(1 + i)}^{4}$

Langkah 1

Gunakan Teorema Binomial.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Langkah 2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Langkah 2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Langkah 2.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Langkah 2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Langkah 2.1.5

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Langkah 2.1.6

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Langkah 2.1.7

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Langkah 2.1.8

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4}$

Langkah 2.1.9

Faktorkan $i^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Langkah 2.1.10

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Langkah 2.1.11

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4}$

Langkah 2.1.12

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4}$

Langkah 2.1.13

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.13.1

Tulis kembali $i^{4}$ sebagai ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.13.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

Langkah 2.1.13.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $6$ dengan $1$ .

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 5$ dan $1$ .

$- 4 + 4 i - 4 i$

Langkah 2.2.3

Kurangi $4 i$ dengan $4 i$ .

$- 4 + 0$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $- 4$ dan $0$ .

$- 4$

Langkah 3

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 4

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 4$ dan $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Langkah 6

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

Langkah 6.2

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16}$

Langkah 6.3

Tambahkan $0$ dan $16$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Langkah 6.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 4$

Langkah 7

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 4})$

Langkah 8

Karena tangen balikan $\frac{0}{- 4}$ menghasilkan sudut di kuadran kedua, nilai dari sudut tersebut adalah $π$ .

$θ = π$

Langkah 9

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = π$ dan $| z | = 4$ .

$4 (\cos (π) + i \sin (π))$