Prakalkulus Contoh

$y = 4 \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x))$

Langkah 1.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 4 \sin (x) = 0$

Langkah 4

Bagi setiap suku pada $- 4 \sin (x) = 0$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagilah setiap suku di $- 4 \sin (x) = 0$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 4}$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 4$ .

$\sin (x) = 0$

Langkah 5

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 8

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 9

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 \cos (0)$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Langkah 11.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4$

Langkah 12

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 4 \cos (0)$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 1$

Langkah 13.2.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f (0) = 4$

Langkah 13.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$y = 4$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $x = π$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 \cos (π)$

Langkah 15

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 4 (- \cos (0))$

Langkah 15.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 15.3

Kalikan $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Langkah 15.3.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$4$

Langkah 16

$x = π$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = π$ adalah minimum lokal

Langkah 17

Tentukan nilai y ketika $x = π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti variabel $x$ dengan $π$ pada pernyataan tersebut.

$f (π) = 4 \cos (π)$

Langkah 17.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (π) = 4 (- \cos (0))$

Langkah 17.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (π) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 17.2.3

Kalikan $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (π) = 4 \cdot - 1$

Langkah 17.2.3.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f (π) = - 4$

Langkah 17.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$y = - 4$

Langkah 18

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 4 \cos (x)$ .

$(0, 4)$ adalah maksimum lokal

$(π, - 4)$ adalah minimum lokal

Langkah 19