Prakalkulus Contoh

$y > 4^{x}$ , $y < 8 - x^{2}$ , $x + y > 0$

Langkah 1

Sederhanakan pertidaksamaan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali sehingga $x$ di sisi kiri pertidaksamaan.

$4^{x} < y$ dan $y < 8 - x^{2}$

Langkah 1.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (4^{x}) < \ln (y)$ dan $y < 8 - x^{2}$

Langkah 1.3

Perluas $\ln (4^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (4) < \ln (y)$ dan $y < 8 - x^{2}$

Langkah 1.4

Bagi setiap suku pada $x \ln (4) < \ln (y)$ dengan $\ln (4)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Bagilah setiap suku di $x \ln (4) < \ln (y)$ dengan $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < 8 - x^{2}$

Langkah 1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < 8 - x^{2}$

Langkah 1.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < 8 - x^{2}$

Langkah 2

Sederhanakan pertidaksamaan kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali sehingga $x$ di sisi kiri pertidaksamaan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $8 - x^{2} > y$

Langkah 2.2

Kurangkan $8$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $- x^{2} > y - 8$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- x^{2} > y - 8$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi setiap suku dalam $- x^{2} > y - 8$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $\frac{x^{2}}{1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.3.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $x^{2} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{y}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $x^{2} < - 1 \cdot y + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.3.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot y$ sebagai $- y$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $x^{2} < - y + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.3.3.1.3

Bagilah $- 8$ dengan $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $x^{2} < - y + 8$

Langkah 2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{- y + 8}$

Langkah 2.5

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $| x | < \sqrt{- y + 8}$

Langkah 2.6

Tulis $| x | < \sqrt{- y + 8}$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 2.6.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x < \sqrt{- y + 8}$

Langkah 2.6.3

Tentukan domain dari $x < \sqrt{- y + 8}$ dan tentukan irisan dari $x \geq 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Tentukan domain dari $x < \sqrt{- y + 8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- y + 8}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- y + 8 \geq 0$

Langkah 2.6.3.1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1.2.1

Kurangkan $8$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- y \geq - 8$

Langkah 2.6.3.1.2.2

Bagi setiap suku pada $- y \geq - 8$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1.2.2.1

Bagi setiap suku dalam $- y \geq - 8$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.6.3.1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.6.3.1.2.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.6.3.1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1.2.2.3.1

Bagilah $- 8$ dengan $- 1$ .

$y \leq 8$

Langkah 2.6.3.1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 8]$

Langkah 2.6.3.2

Tentukan irisan dari $x \geq 0$ dan $(- \infty, 8]$ .

$0 \leq x \leq 8$

Langkah 2.6.4

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 2.6.5

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x < \sqrt{- y + 8}$

Langkah 2.6.6

Tentukan domain dari $- x < \sqrt{- y + 8}$ dan tentukan irisan dari $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.6.1

Tentukan domain dari $- x < \sqrt{- y + 8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.6.1.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{- y + 8}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$- y + 8 \geq 0$

Langkah 2.6.6.1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.6.1.2.1

Kurangkan $8$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- y \geq - 8$

Langkah 2.6.6.1.2.2

Bagi setiap suku pada $- y \geq - 8$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.6.1.2.2.1

Bagi setiap suku dalam $- y \geq - 8$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.6.6.1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.6.1.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.6.6.1.2.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.6.6.1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.6.1.2.2.3.1

Bagilah $- 8$ dengan $- 1$ .

$y \leq 8$

Langkah 2.6.6.1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, 8]$

Langkah 2.6.6.2

Tentukan irisan dari $x < 0$ dan $(- \infty, 8]$ .

$x < 0$

Langkah 2.6.7

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan ${\begin{cases} x < \sqrt{- y + 8} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x < \sqrt{- y + 8} & x < 0 \end{cases}$

Langkah 2.7

Selesaikan $x < \sqrt{- y + 8}$ ketika $0 \leq x \leq 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Selesaikan $x < \sqrt{- y + 8}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.1

Tulis kembali sehingga $y$ di sisi kiri pertidaksamaan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $\sqrt{- y + 8} > x$

Langkah 2.7.1.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > x^{2}$

Langkah 2.7.1.3

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{- y + 8}$ sebagai ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

Langkah 2.7.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.3.2.1

Sederhanakan ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Langkah 2.7.1.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Langkah 2.7.1.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $- y + 8 > x^{2}$

Langkah 2.7.1.3.2.1.2

Sederhanakan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $- y + 8 > x^{2}$

Langkah 2.7.1.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.4.1

Kurangkan $8$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $- y > x^{2} - 8$

Langkah 2.7.1.4.2

Bagi setiap suku pada $- y > x^{2} - 8$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.4.2.1

Bagi setiap suku dalam $- y > x^{2} - 8$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.7.1.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.4.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.7.1.4.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.7.1.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.4.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1.4.2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.7.1.4.2.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.7.1.4.2.3.1.3

Bagilah $- 8$ dengan $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < - x^{2} + 8$

Langkah 2.7.2

Tentukan irisan dari $y < - x^{2} + 8$ dan $0 \leq x \leq 8$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $0 \leq x \leq N o$ Minimum

Langkah 2.8

Selesaikan $- x < \sqrt{- y + 8}$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Selesaikan $- x < \sqrt{- y + 8}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Tulis kembali sehingga $y$ di sisi kiri pertidaksamaan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $\sqrt{- y + 8} > - x$

Langkah 2.8.1.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri pertidaksamaan, kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > {(- x)}^{2}$

Langkah 2.8.1.3

Sederhanakan masing-masing sisi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{- y + 8}$ sebagai ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x)}^{2}$

Langkah 2.8.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.3.2.1

Sederhanakan ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Langkah 2.8.1.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Langkah 2.8.1.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Langkah 2.8.1.3.2.1.2

Sederhanakan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Langkah 2.8.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.3.3.1

Sederhanakan ${(- x)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.3.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- x$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $- y + 8 > {(- 1)}^{2} x^{2}$

Langkah 2.8.1.3.3.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $- y + 8 > 1 x^{2}$

Langkah 2.8.1.3.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $- y + 8 > x^{2}$

Langkah 2.8.1.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.4.1

Kurangkan $8$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $- y > x^{2} - 8$

Langkah 2.8.1.4.2

Bagi setiap suku pada $- y > x^{2} - 8$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.4.2.1

Bagi setiap suku dalam $- y > x^{2} - 8$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.8.1.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.4.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.8.1.4.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.8.1.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.4.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.4.2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.8.1.4.2.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Langkah 2.8.1.4.2.3.1.3

Bagilah $- 8$ dengan $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ dan $y < - x^{2} + 8$

Langkah 2.8.2

Tentukan irisan dari $y < - x^{2} + 8$ dan $x < 0$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Minimum

Langkah 2.9

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Maximum

Langkah 3