Prakalkulus Contoh

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$ , $y = 3 (1 - \sqrt{4 - t^{2}})$

Langkah 1

Tulis persamaan parametrik untuk $x (t)$ untuk menyelesaikan persamaan untuk $t$ .

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ .

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$

Langkah 3

Bagi setiap suku pada $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagilah setiap suku di $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ dengan $4$ .

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Langkah 3.2.1.1.2

Bagilah $\sqrt{4 - t^{2}}$ dengan $1$ .

$\sqrt{4 - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Langkah 3.2.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Langkah 3.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2$ dan $b = t$ .

$\sqrt{(2 + t) (2 - t)} = \frac{x}{4}$

Langkah 4

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{(2 + t) (2 - t)}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(2 + t) (2 - t)}$ sebagai ${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${((2 + t) (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.2

Perluas $(2 + t) (2 - t)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

${(2 (2 - t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

${(4 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

${(4 - 2 t + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.3.1.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t$ .

${(4 - 2 t + 2 \cdot t + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

${(4 - 2 t + 2 t - t \cdot t)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.3.1.5

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1.5.1

Pindahkan $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - (t \cdot t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.3.1.5.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.3.2

Tambahkan $- 2 t$ dan $2 t$ .

${(4 + 0 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.3.3

Tambahkan $4$ dan $0$ .

${(4 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.2.1.4

Sederhanakan.

$4 - t^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{4}$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{16}$

Langkah 6

Selesaikan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 6.2.2.2

Bagilah $t^{2}$ dengan $1$ .

$t^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1}$ .

$t^{2} = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 6.2.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{16}$ sebagai $- \frac{x^{2}}{16}$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 6.2.3.1.3

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + 4$

Langkah 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$

Langkah 6.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 2^{2}}$

Langkah 6.4.1.2

Tulis kembali $\frac{x^{2}}{16}$ sebagai ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{- {(\frac{x}{4})}^{2} + 2^{2}}$

Langkah 6.4.1.3

Susun kembali $- {(\frac{x}{4})}^{2}$ dan $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}$

Langkah 6.4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2$ dan $b = \frac{x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Langkah 6.4.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Langkah 6.4.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Langkah 6.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$t = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 4 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Langkah 6.4.6

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Langkah 6.4.7

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4})}$

Langkah 6.4.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{x}{4})}$

Langkah 6.4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{2 \cdot 4 - x}{4}}$

Langkah 6.4.10

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{8 - x}{4}}$

Langkah 6.4.11

Kalikan $\frac{8 + x}{4}$ dengan $\frac{8 - x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{4 \cdot 4}}$

Langkah 6.4.12

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}}$

Langkah 6.4.13

Tulis kembali $\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}$ sebagai ${(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.13.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $(8 + x) (8 - x)$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{16}}$

Langkah 6.4.13.2

Faktorkan kuadrat sempurna $4^{2}$ dari $16$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}}$

Langkah 6.4.13.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$t = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}$

Langkah 6.4.14

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$t = \pm \frac{1}{4} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Langkah 6.4.15

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Langkah 6.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Langkah 6.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Langkah 6.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Langkah 7

Ganti $t$ dalam persamaan $y$ untuk mendapatkan persamaan dalam bentuk $x$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Langkah 8

Sederhanakan $3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Langkah 8.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 2$ dan $b = (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 - (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Langkah 8.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Langkah 8.1.3.2

Kalikan $- - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, 1 (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})))})$

Langkah 8.1.3.2.2

Kalikan $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ dengan $1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Langkah 8.2

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 3 \cdot 1 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$y = 3 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Langkah 8.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Langkah 8.2.2.3

Susun kembali $8$ dan $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Langkah 8.2.2.4

Susun kembali $8$ dan $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Langkah 8.2.2.5

Susun kembali $8$ dan $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Langkah 8.2.2.6

Susun kembali $8$ dan $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Langkah 8.2.2.7

Susun kembali $8$ dan $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Langkah 8.2.2.8

Susun kembali $8$ dan $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Langkah 8.2.2.9

Susun kembali $8$ dan $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}))}$

Langkah 8.2.2.10

Susun kembali $8$ dan $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}))}$