Prakalkulus Contoh

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 1$ , $\frac{1}{4} x - \frac{1}{6} y = - \frac{5}{2}$

Langkah 1

Nyatakan sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{5}{2} \end{array}]$

Langkah 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Langkah 2.2

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.3

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{1}{6})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.3.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{3 \cdot 4}$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{12}$

Langkah 2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 - 1}{12}$

Langkah 2.3.3

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2}{12}$

Langkah 2.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Langkah 2.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Langkah 2.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Langkah 2.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{6}$

Langkah 2.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{6}$

$D = - \frac{1}{6}$

Langkah 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Langkah 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{5}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{2} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Langkah 4.2

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- \frac{1}{6}) - (- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Kalikan $- \frac{1}{6}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{6} - (- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Langkah 4.2.2.1.2

Kalikan $- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.2.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{1}{6} - - \frac{5}{3 \cdot 2}$

Langkah 4.2.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{6} - - \frac{5}{6}$

Langkah 4.2.2.1.3

Kalikan $- - \frac{5}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{6} + 1 (\frac{5}{6})$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Kalikan $\frac{5}{6}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{5}{6}$

Langkah 4.2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 + 5}{6}$

Langkah 4.2.2.3

Tambahkan $- 1$ dan $5$ .

$\frac{4}{6}$

Langkah 4.2.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 (2)}{6}$

Langkah 4.2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Langkah 4.2.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Langkah 4.2.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{3}$

$D_{x} = \frac{2}{3}$

Langkah 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Langkah 4.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $\frac{2}{3}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{2}{3}}{- \frac{1}{6}}$

Langkah 4.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{2}{3} (- 1 \cdot 6)$

Langkah 4.6

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot - 6$

Langkah 4.7

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$x = \frac{2}{3} \cdot (3 (- 2))$

Langkah 4.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Langkah 4.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 2 \cdot - 2$

Langkah 4.8

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$x = - 4$

Langkah 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{5}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{4} & - \frac{5}{2} \end{array} |$

Langkah 5.2

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{2}) - \frac{1}{4} \cdot 1$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{5}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{5}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{5}{4} - \frac{1}{4}$

Langkah 5.2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 5 - 1}{4}$

Langkah 5.2.2.3

Kurangi $1$ dengan $- 5$ .

$\frac{- 6}{4}$

Langkah 5.2.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\frac{2 (- 3)}{4}$

Langkah 5.2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Langkah 5.2.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Langkah 5.2.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3}{2}$

Langkah 5.2.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2}$

$D_{y} = - \frac{3}{2}$

Langkah 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Langkah 5.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $- \frac{3}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{3}{2}}{- \frac{1}{6}}$

Langkah 5.5

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{6}}$

Langkah 5.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{3}{2} \cdot 6$

Langkah 5.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (2 (3))$

Langkah 5.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Langkah 5.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 3 \cdot 3$

Langkah 5.8

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = 9$

Langkah 6

Sebutkan penyelesaian untuk sistem persamaan.

$x = - 4$

$y = 9$